Номер 1423, страница 364 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 14. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1423, страница 364.

1423 Даны прямая, окружность и точка А, не лежащая на них. Постройте квадрат ABCD так, чтобы вершина В лежала на данной прямой, а вершина D — на данной окружности.

Для решения этой задачи воспользуемся методом геометрических преобразований, а именно поворотом вокруг точки A на угол $90^\circ$.

Пусть дана прямая $l$, окружность $\omega$ с центром в точке O и радиусом $r$, и точка A. Мы ищем вершины квадрата ABCD, где $B \in l$ и $D \in \omega$.

В квадрате ABCD диагональ AD может быть получена из диагонали AB поворотом на угол $+90^\circ$ или $-90^\circ$ вокруг вершины A. Это дает нам два возможных случая расположения квадрата.

Анализ

Рассмотрим связь между вершинами B и D. Так как ABCD — квадрат, то треугольник ABD является прямоугольным равнобедренным треугольником с прямым углом при вершине A. Это означает, что точка B может быть получена из точки D поворотом вокруг точки A на угол $+90^\circ$ (против часовой стрелки) или $-90^\circ$ (по часовой стрелке).

Пусть $R_{A, +90^\circ}$ — поворот на $+90^\circ$ вокруг A, а $R_{A, -90^\circ}$ — поворот на $-90^\circ$ вокруг A.

Мы знаем, что точка D лежит на окружности $\omega$. Если мы применим поворот к точке D, то ее образ, точка B, будет лежать на образе окружности $\omega$.

1. Если $B = R_{A, +90^\circ}(D)$, то точка B должна лежать на окружности $\omega' = R_{A, +90^\circ}(\omega)$.
2. Если $B = R_{A, -90^\circ}(D)$, то точка B должна лежать на окружности $\omega'' = R_{A, -90^\circ}(\omega)$.

В то же время, по условию задачи, точка B должна лежать на прямой $l$. Следовательно, искомые положения точки B являются точками пересечения прямой $l$ с повернутыми окружностями $\omega'$ и $\omega''$.

Построение

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Вершины A, B, C, D расположены по часовой стрелке.

В этом случае вектор $\vec{AB}$ получается из вектора $\vec{AD}$ поворотом на $+90^\circ$ (против часовой стрелки), а значит, точка B получается из точки D поворотом $R_{A, +90^\circ}$.

• Шаг 1: Построим образ окружности $\omega$ при повороте $R_{A, +90^\circ}$. Для этого достаточно повернуть ее центр O на $+90^\circ$ вокруг точки A. Получим точку $O'$.
  Для построения $O'$: соединим A и O, построим к отрезку AO перпендикуляр в точке A, и отложим на нем отрезок $AO' = AO$ так, чтобы поворот от $\vec{AO}$ к $\vec{AO'}$ был против часовой стрелки.
• Шаг 2: Построим окружность $\omega'$ с центром в точке $O'$ и тем же радиусом $r$, что и у окружности $\omega$.
• Шаг 3: Найдем точки пересечения окружности $\omega'$ и прямой $l$. Каждая такая точка является возможным положением вершины B. В зависимости от расположения прямой и окружности, таких точек может быть 0, 1 или 2. Обозначим одну из них как B.
• Шаг 4: Найдя точку B, построим соответствующую ей точку D. Так как $B = R_{A, +90^\circ}(D)$, то $D = R_{A, -90^\circ}(B)$. Выполним поворот точки B вокруг точки A на $-90^\circ$ (по часовой стрелке), чтобы найти D. По построению, точка D будет лежать на исходной окружности $\omega$.
• Шаг 5: Построим четвертую вершину квадрата, C. Это можно сделать, отложив от точки D вектор, равный $\vec{AB}$, то есть $\vec{DC} = \vec{AB}$.

Случай 2: Вершины A, B, C, D расположены против часовой стрелки.

В этом случае вектор $\vec{AB}$ получается из вектора $\vec{AD}$ поворотом на $-90^\circ$ (по часовой стрелке), а значит, точка B получается из точки D поворотом $R_{A, -90^\circ}$.

• Шаг 1: Построим образ окружности $\omega$ при повороте $R_{A, -90^\circ}$. Для этого повернем ее центр O на $-90^\circ$ вокруг точки A. Получим точку $O''$.
• Шаг 2: Построим окружность $\omega''$ с центром в точке $O''$ и радиусом $r$.
• Шаг 3: Найдем точки пересечения окружности $\omega''$ и прямой $l$. Это другие возможные положения для вершины B.
• Шаг 4: Для каждой найденной точки B, найдем соответствующую точку D, выполнив поворот $D = R_{A, +90^\circ}(B)$.
• Шаг 5: Построим вершину C.

Исследование

В каждом из двух случаев прямая и окружность могут иметь 0, 1 или 2 точки пересечения. Таким образом, общее число решений (возможных квадратов) может быть от 0 до 4. Каждая найденная точка B однозначно определяет квадрат.

Ответ: Алгоритм построения квадрата ABCD:

1. Определить центр O и радиус $r$ данной окружности $\omega$.
2. Построить точку $O'$ путем поворота точки O вокруг точки A на угол $+90^\circ$ (против часовой стрелки).
3. Построить окружность $\omega'$ с центром в $O'$ и радиусом $r$.
4. Найти точки пересечения $B_i$ окружности $\omega'$ и данной прямой $l$.
5. Для каждой найденной точки $B_i$ построить точку $D_i$ путем поворота $B_i$ вокруг A на $-90^\circ$ (по часовой стрелке).
6. Построить точку $O''$ путем поворота точки O вокруг точки A на угол $-90^\circ$ (по часовой стрелке).
7. Построить окружность $\omega''$ с центром в $O''$ и радиусом $r$.
8. Найти точки пересечения $B_j$ окружности $\omega''$ и данной прямой $l$.
9. Для каждой найденной точки $B_j$ построить точку $D_j$ путем поворота $B_j$ вокруг A на $+90^\circ$ (против часовой стрелке).
10. Для каждой найденной пары вершин $(A, B_k, D_k)$ достроить квадрат $A B_k C_k D_k$. Например, отложив от точки $D_k$ вектор, равный $\vec{A B_k}$.

Совокупность всех построенных таким образом квадратов является решением задачи.