Номер 1425, страница 364 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 15. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1425, страница 364.

1425 Даны отрезки a, m, n (m < n). Постройте прямоугольник ABCD так, чтобы АВ = a, ВС : АС = m : n.

Для решения данной задачи необходимо построить прямоугольник ABCD, у которого одна сторона AB равна заданному отрезку a, а отношение другой стороны BC к диагонали AC равно m : n. Решение задачи состоит из анализа, построения, доказательства и исследования.

Анализ

Пусть искомый прямоугольник ABCD построен. В нём AB = a. Треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине B. Стороны этого треугольника связаны теоремой Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

По условию задачи, отношение стороны BC к диагонали AC равно $m : n$:

$\frac{BC}{AC} = \frac{m}{n}$

Обозначим длину стороны BC как x. Тогда из пропорции можно выразить длину диагонали AC: $AC = \frac{n}{m} \cdot BC = \frac{n}{m}x$.

Подставим известные величины в теорему Пифагора для треугольника ABC:

$\left(\frac{n}{m}x\right)^2 = a^2 + x^2$

$\frac{n^2}{m^2}x^2 = a^2 + x^2$

$x^2\left(\frac{n^2}{m^2} - 1\right) = a^2$

$x^2\left(\frac{n^2 - m^2}{m^2}\right) = a^2$

$x^2 = \frac{a^2 m^2}{n^2 - m^2}$

$x = \sqrt{\frac{a^2 m^2}{n^2 - m^2}} = \frac{a \cdot m}{\sqrt{n^2 - m^2}}$

Таким образом, задача сводится к построению отрезка x (стороны BC), длина которого определяется данной формулой. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, выполнив два основных геометрических построения:

1. Построение отрезка длиной $p = \sqrt{n^2 - m^2}$. Этот отрезок является катетом прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна n, а другой катет равен m.
2. Построение отрезка $x = \frac{a \cdot m}{p}$. Это классическая задача на построение четвертого пропорционального отрезка к трём известным отрезкам p, a и m.

Построение

1. Построение вспомогательного отрезка $p = \sqrt{n^2 - m^2}$

1. Начертите произвольную прямую и отметьте на ней точку Q.
2. Восстановите перпендикуляр к прямой в точке Q.
3. На этом перпендикуляре отложите отрезок QR, равный по длине данному отрезку m.
4. Из точки R как из центра проведите дугу окружности радиусом, равным данному отрезку n.
5. Точку пересечения этой дуги с исходной прямой обозначьте как P. Такое пересечение существует, так как по условию $n > m$.
6. Отрезок PQ является искомым вспомогательным отрезком. Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника PQR, его длина равна $p = \sqrt{PR^2 - QR^2} = \sqrt{n^2 - m^2}$.

2. Построение стороны $BC$ (отрезка $x = \frac{a \cdot m}{p}$)

1. Начертите произвольный неразвернутый угол с вершиной в точке O.
2. На одной стороне угла отложите от вершины O отрезок $OP'$, равный построенному отрезку p.
3. На той же стороне угла отложите от вершины O отрезок $OA'$, равный данному отрезку a.
4. На другой стороне угла отложите от вершины O отрезок $OM'$, равный данному отрезку m.
5. Соедините точки $P'$ и $M'$.
6. Через точку $A'$ проведите прямую, параллельную отрезку $P'M'$.
7. Точку пересечения этой прямой со второй стороной угла обозначьте как $B'$.
8. Из подобия треугольников $\triangle OP'M'$ и $\triangle OA'B'$ следует соотношение $\frac{OA'}{OP'} = \frac{OB'}{OM'}$, или $\frac{a}{p} = \frac{OB'}{m}$. Отсюда $OB' = \frac{a \cdot m}{p}$. Таким образом, отрезок $OB'$ является искомой стороной BC. Обозначим его длину как b.

3. Построение прямоугольника ABCD

1. Проведите прямую и отложите на ней отрезок AB, равный данному отрезку a.
2. В точке B восстановите перпендикуляр к отрезку AB.
3. На этом перпендикуляре отложите отрезок BC, равный построенному на предыдущем шаге отрезку b (длине $OB'$).
4. Из точки A как из центра проведите дугу окружности радиусом b.
5. Из точки C как из центра проведите дугу окружности радиусом a.
6. Точку пересечения этих двух дуг обозначьте как D.
7. Соедините отрезками точки A с D и C с D.

Полученная фигура ABCD является искомым прямоугольником.

Доказательство

По построению, фигура ABCD является параллелограммом (так как $AB=CD=a$ и $AD=BC=b$) с прямым углом $\angle B$, следовательно, ABCD — прямоугольник.

Сторона AB равна a по построению.

Длина стороны BC была построена равной $b = \frac{a \cdot m}{p}$, где $p = \sqrt{n^2 - m^2}$. Таким образом, $BC = \frac{a \cdot m}{\sqrt{n^2 - m^2}}$.

Найдем длину диагонали AC по теореме Пифагора в $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + \left(\frac{a \cdot m}{\sqrt{n^2 - m^2}}\right)^2 = a^2 + \frac{a^2 m^2}{n^2 - m^2} = a^2\left(1 + \frac{m^2}{n^2 - m^2}\right) = a^2\left(\frac{n^2 - m^2 + m^2}{n^2 - m^2}\right) = \frac{a^2 n^2}{n^2 - m^2}$

$AC = \sqrt{\frac{a^2 n^2}{n^2 - m^2}} = \frac{a \cdot n}{\sqrt{n^2 - m^2}}$

Теперь проверим отношение сторон BC и AC:

$\frac{BC}{AC} = \frac{\frac{a \cdot m}{\sqrt{n^2 - m^2}}}{\frac{a \cdot n}{\sqrt{n^2 - m^2}}} = \frac{a \cdot m}{a \cdot n} = \frac{m}{n}$

Соотношение $BC:AC = m:n$ выполняется. Таким образом, построенный прямоугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно, если все его шаги выполнимы. Первый шаг (построение отрезка p) возможен, поскольку по условию $n > m$, что гарантирует существование прямоугольного треугольника с гипотенузой n и катетом m. Остальные шаги (построение четвертого пропорционального и построение прямоугольника по двум сторонам) всегда выполнимы. Следовательно, задача всегда имеет решение.

Ответ: Построение подробно описано выше. Оно заключается в последовательном построении вспомогательного отрезка $p=\sqrt{n^2-m^2}$, затем стороны прямоугольника $BC$ как четвертого пропорционального к отрезкам $p, a, m$, и, наконец, самого прямоугольника по двум известным сторонам $AB=a$ и $BC$.