Номер 1422, страница 364 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 14. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1422, страница 364.

1422 Даны точки A и В и две пересекающиеся прямые с и d. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы вершины С и D лежали соответственно на прямых с и d.

Для решения этой задачи на построение используется метод геометрических преобразований, в частности — параллельный перенос.

Анализ

Пусть $ABCD$ — искомый параллелограмм. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны. Это свойство можно выразить через равенство векторов: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Это векторное равенство означает, что вершина $C$ может быть получена из вершины $D$ путем параллельного переноса на известный нам вектор $\vec{AB}$. Обозначим этот перенос как $T_{\vec{AB}}$. Таким образом, $C = T_{\vec{AB}}(D)$.

По условию задачи, вершина $D$ должна лежать на прямой $d$ (то есть, $D \in d$), а вершина $C$ — на прямой $c$ ($C \in c$).

Из того, что $D \in d$ и $C$ является образом $D$ при переносе $T_{\vec{AB}}$, следует, что точка $C$ должна принадлежать образу прямой $d$ при этом же переносе. Обозначим образ прямой $d$ как прямую $d'$. Прямая $d'$ будет параллельна прямой $d$.

Таким образом, искомая вершина $C$ является точкой, принадлежащей одновременно двум прямым: данной прямой $c$ и построенной прямой $d'$. То есть, $C$ — это точка их пересечения.

Построение

1. Соединяем точки $A$ и $B$, определяя тем самым вектор переноса $\vec{AB}$.

2. Строим прямую $d'$, являющуюся образом прямой $d$ при параллельном переносе на вектор $\vec{AB}$. Для этого можно выбрать на прямой $d$ произвольную точку $P$, построить ее образ $P'$ (так, что $\vec{PP'} = \vec{AB}$), и через точку $P'$ провести прямую $d'$, параллельную прямой $d$.

3. Находим точку пересечения данной прямой $c$ и построенной прямой $d'$. Эта точка и есть искомая вершина $C$ ($C = c \cap d'$).

4. Строим четвертую вершину $D$. Так как по свойству параллелограмма $\vec{DC} = \vec{AB}$, то вектор $\vec{CD}$ должен быть равен вектору $\vec{BA}$. Следовательно, осуществляем параллельный перенос точки $C$ на вектор $\vec{BA}$ и получаем точку $D$.

5. Соединяем последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Доказательство

Построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как по построению (шаг 4) мы обеспечили равенство векторов $\vec{CD} = \vec{BA}$, что эквивалентно $\vec{DC} = \vec{AB}$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны по длине и параллельны, является параллелограммом.

Проверим, что вершины $C$ и $D$ лежат на заданных прямых. По построению (шаг 3), вершина $C$ является точкой пересечения прямых $c$ и $d'$, следовательно, по определению, $C$ лежит на прямой $c$. Также $C$ лежит на прямой $d'$. Прямая $d'$ является образом прямой $d$ при переносе $T_{\vec{AB}}$. Точка $D$ была получена из точки $C$ обратным переносом на вектор $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Это означает, что $D$ является прообразом точки $C$ при переносе $T_{\vec{AB}}$. Так как $C \in d'$, ее прообраз $D$ должен лежать на исходной прямой $d$. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Исследование

Нахождение решения задачи сводится к нахождению точки $C$ как точки пересечения прямых $c$ и $d'$. Прямая $d'$ по построению параллельна прямой $d$ ($d' \parallel d$). По условию задачи, прямые $c$ и $d$ пересекаются, значит, они не параллельны ($c \not\parallel d$).

Если прямая $c$ не параллельна прямой $d$, а прямая $d'$ параллельна $d$, то прямая $c$ не может быть параллельна и прямой $d'$. Две непараллельные прямые на плоскости всегда пересекаются в одной и только одной точке. Следовательно, точка $C$ определяется единственным образом. После однозначного нахождения $C$, положение точки $D$ также определяется однозначно.

Таким образом, при заданных условиях задача всегда имеет ровно одно решение.

Ответ: Задача имеет единственное решение. Алгоритм построения искомого параллелограмма $ABCD$ основан на методе параллельного переноса: прямая $d$ переносится на вектор $\vec{AB}$ в прямую $d'$, в пересечении $d'$ с прямой $c$ находится вершина $C$, а затем вершина $D$ находится как образ точки $C$ при переносе на вектор $\vec{BA}$.