Номер 1421, страница 364 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Задачи к главе 14. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1421, страница 364.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№1421 (с. 364)
Условие. №1421 (с. 364)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 364, номер 1421, Условие

1421 Постройте трапецию, стороны которой соответственно равны данным отрезкам.

Решение 2. №1421 (с. 364)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 364, номер 1421, Решение 2
Решение 3. №1421 (с. 364)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 364, номер 1421, Решение 3
Решение 4. №1421 (с. 364)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 364, номер 1421, Решение 4
Решение 6. №1421 (с. 364)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 364, номер 1421, Решение 6 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 364, номер 1421, Решение 6 (продолжение 2)
Решение 9. №1421 (с. 364)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 364, номер 1421, Решение 9
Решение 11. №1421 (с. 364)

Для построения трапеции по четырем сторонам будем использовать метод вспомогательного треугольника. Пусть нам даны четыре отрезка с длинами $a$, $b$, $c$ и $d$. Требуется построить трапецию $ABCD$, у которой основания $AD$ и $BC$ будут равны, например, $a$ и $b$ ($AD \parallel BC$), а боковые стороны $AB$ и $CD$ — $c$ и $d$. Для определенности будем считать, что $a > b$.

Анализ

Предположим, что искомая трапеция $ABCD$ уже построена. Проведем через вершину $B$ прямую, параллельную боковой стороне $CD$. Пусть эта прямая пересекает большее основание $AD$ в точке $E$.

Полученный четырехугольник $BCDE$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны ($BC \parallel ED$ как части параллельных оснований трапеции, и $BE \parallel CD$ по построению).

Из свойств параллелограмма следует, что $ED = BC = b$ и $BE = CD = d$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. Его стороны нам известны:

  • $AB = c$ (по условию);
  • $BE = d$ (как сторона параллелограмма $BCDE$);
  • $AE = AD - ED = a - b$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ABE$ по трем сторонам с длинами $c$, $d$ и $a-b$. Построив этот треугольник, мы сможем однозначно достроить его до искомой трапеции.

Построение

Пусть нам даны четыре отрезка, длины которых равны $a, b, c, d$. Выберем два из них на роль оснований (пусть это $a$ и $b$), а два других — на роль боковых сторон ($c$ и $d$).

  1. На произвольной прямой $l$ выберем точку $A$.
  2. С помощью циркуля отложим на прямой $l$ от точки $A$ отрезок $AD$ длиной $a$ (длина большего основания).
  3. На отрезке $AD$ от точки $A$ отложим отрезок $AE$, длина которого равна разности длин оснований $|a-b|$. Если, как мы договорились, $a > b$, то точка $E$ будет лежать между $A$ и $D$. Для этого можно измерить циркулем отрезок длиной $b$ и отложить его от точки $D$ в сторону точки $A$, получив точку $E$.
  4. Построим вспомогательный треугольник $ABE$ по трем сторонам ($c$, $d$ и $|a-b|$):
    • Проведем окружность с центром в точке $A$ и радиусом $c$.
    • Проведем окружность с центром в точке $E$ и радиусом $d$.
    • Точка пересечения этих двух окружностей будет вершиной $B$. (Выбор любой из двух точек пересечения, если они существуют, приведет к построению конгруэнтных трапеций).
  5. Соединим точки $A$ и $B$, а также $B$ и $E$. Мы получили треугольник $ABE$.
  6. Теперь завершим построение трапеции, найдя четвертую вершину $C$. Для этого построим параллелограмм $BCDE$:
    • Проведем через точку $B$ прямую $m$, параллельную прямой $AD$.
    • Проведем через точку $D$ прямую $n$, параллельную отрезку $BE$.
    • Точка пересечения прямых $m$ и $n$ является искомой вершиной $C$.
  7. Соединив точку $C$ с $D$, получаем четырехугольник $ABCD$, который и является искомой трапецией.
Доказательство

Докажем, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

  1. По построению (шаг 6), прямая, содержащая $BC$, параллельна прямой, содержащей $AD$. Следовательно, $ABCD$ — трапеция.
  2. Проверим длины ее сторон:
    • $AD = a$ по построению (шаг 2).
    • $AB = c$ по построению (шаг 4, как радиус окружности с центром в $A$).
    • Четырехугольник $BCDE$ по построению (шаг 6) является параллелограммом ($BC \parallel ED$ и $CD \parallel BE$).
    • Из свойств параллелограмма $BCDE$ имеем: $BC = ED$ и $CD = BE$.
    • Найдем длину $ED$. По построению (шаг 3), $AD = a$ и $AE = |a-b| = a-b$. Тогда $ED = AD - AE = a - (a-b) = b$. Таким образом, $BC = b$.
    • По построению треугольника $ABE$ (шаг 4), сторона $BE$ имеет длину $d$. Следовательно, и $CD = d$.

Итак, построенный четырехугольник $ABCD$ является трапецией с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ и $d$.

Исследование

Построение, описанное выше, возможно тогда и только тогда, когда возможно построить вспомогательный треугольник $ABE$. Для существования треугольника со сторонами $c$, $d$ и $|a-b|$ необходимо и достаточно, чтобы для этих длин выполнялось неравенство треугольника, то есть каждая сторона должна быть меньше суммы двух других:

  • $c + d > |a-b|$
  • $c + |a-b| > d$
  • $d + |a-b| > c$

Если эти условия соблюдены, то окружности в шаге 4 построения пересекутся в двух точках. Это означает, что задача имеет решение. Выбор любой из двух точек для вершины $B$ приводит к двум трапециям, симметричным относительно прямой $AD$, то есть конгруэнтным друг другу. Следовательно, при выполнении указанных условий задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности и выбора оснований).

Ответ: Алгоритм построения трапеции по четырем сторонам $a, b, c, d$ (где $a, b$ - основания) основан на построении вспомогательного треугольника со сторонами $c, d, |a-b|$ и последующем достраивании его до трапеции. Данный алгоритм позволяет построить искомую трапецию при условии, что для длин $c, d, |a-b|$ выполняется неравенство треугольника.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1421 расположенного на странице 364 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1421 (с. 364), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться