Номер 1421, страница 364 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Задачи к главе 14. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1421, страница 364.
№1421 (с. 364)
Условие. №1421 (с. 364)
скриншот условия

1421 Постройте трапецию, стороны которой соответственно равны данным отрезкам.
Решение 2. №1421 (с. 364)

Решение 3. №1421 (с. 364)

Решение 4. №1421 (с. 364)

Решение 6. №1421 (с. 364)


Решение 9. №1421 (с. 364)

Решение 11. №1421 (с. 364)
Для построения трапеции по четырем сторонам будем использовать метод вспомогательного треугольника. Пусть нам даны четыре отрезка с длинами $a$, $b$, $c$ и $d$. Требуется построить трапецию $ABCD$, у которой основания $AD$ и $BC$ будут равны, например, $a$ и $b$ ($AD \parallel BC$), а боковые стороны $AB$ и $CD$ — $c$ и $d$. Для определенности будем считать, что $a > b$.
АнализПредположим, что искомая трапеция $ABCD$ уже построена. Проведем через вершину $B$ прямую, параллельную боковой стороне $CD$. Пусть эта прямая пересекает большее основание $AD$ в точке $E$.
Полученный четырехугольник $BCDE$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны ($BC \parallel ED$ как части параллельных оснований трапеции, и $BE \parallel CD$ по построению).
Из свойств параллелограмма следует, что $ED = BC = b$ и $BE = CD = d$.
Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. Его стороны нам известны:
- $AB = c$ (по условию);
- $BE = d$ (как сторона параллелограмма $BCDE$);
- $AE = AD - ED = a - b$.
Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ABE$ по трем сторонам с длинами $c$, $d$ и $a-b$. Построив этот треугольник, мы сможем однозначно достроить его до искомой трапеции.
ПостроениеПусть нам даны четыре отрезка, длины которых равны $a, b, c, d$. Выберем два из них на роль оснований (пусть это $a$ и $b$), а два других — на роль боковых сторон ($c$ и $d$).
- На произвольной прямой $l$ выберем точку $A$.
- С помощью циркуля отложим на прямой $l$ от точки $A$ отрезок $AD$ длиной $a$ (длина большего основания).
- На отрезке $AD$ от точки $A$ отложим отрезок $AE$, длина которого равна разности длин оснований $|a-b|$. Если, как мы договорились, $a > b$, то точка $E$ будет лежать между $A$ и $D$. Для этого можно измерить циркулем отрезок длиной $b$ и отложить его от точки $D$ в сторону точки $A$, получив точку $E$.
- Построим вспомогательный треугольник $ABE$ по трем сторонам ($c$, $d$ и $|a-b|$):
- Проведем окружность с центром в точке $A$ и радиусом $c$.
- Проведем окружность с центром в точке $E$ и радиусом $d$.
- Точка пересечения этих двух окружностей будет вершиной $B$. (Выбор любой из двух точек пересечения, если они существуют, приведет к построению конгруэнтных трапеций).
- Соединим точки $A$ и $B$, а также $B$ и $E$. Мы получили треугольник $ABE$.
- Теперь завершим построение трапеции, найдя четвертую вершину $C$. Для этого построим параллелограмм $BCDE$:
- Проведем через точку $B$ прямую $m$, параллельную прямой $AD$.
- Проведем через точку $D$ прямую $n$, параллельную отрезку $BE$.
- Точка пересечения прямых $m$ и $n$ является искомой вершиной $C$.
- Соединив точку $C$ с $D$, получаем четырехугольник $ABCD$, который и является искомой трапецией.
Докажем, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.
- По построению (шаг 6), прямая, содержащая $BC$, параллельна прямой, содержащей $AD$. Следовательно, $ABCD$ — трапеция.
- Проверим длины ее сторон:
- $AD = a$ по построению (шаг 2).
- $AB = c$ по построению (шаг 4, как радиус окружности с центром в $A$).
- Четырехугольник $BCDE$ по построению (шаг 6) является параллелограммом ($BC \parallel ED$ и $CD \parallel BE$).
- Из свойств параллелограмма $BCDE$ имеем: $BC = ED$ и $CD = BE$.
- Найдем длину $ED$. По построению (шаг 3), $AD = a$ и $AE = |a-b| = a-b$. Тогда $ED = AD - AE = a - (a-b) = b$. Таким образом, $BC = b$.
- По построению треугольника $ABE$ (шаг 4), сторона $BE$ имеет длину $d$. Следовательно, и $CD = d$.
Итак, построенный четырехугольник $ABCD$ является трапецией с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ и $d$.
ИсследованиеПостроение, описанное выше, возможно тогда и только тогда, когда возможно построить вспомогательный треугольник $ABE$. Для существования треугольника со сторонами $c$, $d$ и $|a-b|$ необходимо и достаточно, чтобы для этих длин выполнялось неравенство треугольника, то есть каждая сторона должна быть меньше суммы двух других:
- $c + d > |a-b|$
- $c + |a-b| > d$
- $d + |a-b| > c$
Если эти условия соблюдены, то окружности в шаге 4 построения пересекутся в двух точках. Это означает, что задача имеет решение. Выбор любой из двух точек для вершины $B$ приводит к двум трапециям, симметричным относительно прямой $AD$, то есть конгруэнтным друг другу. Следовательно, при выполнении указанных условий задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности и выбора оснований).
Ответ: Алгоритм построения трапеции по четырем сторонам $a, b, c, d$ (где $a, b$ - основания) основан на построении вспомогательного треугольника со сторонами $c, d, |a-b|$ и последующем достраивании его до трапеции. Данный алгоритм позволяет построить искомую трапецию при условии, что для длин $c, d, |a-b|$ выполняется неравенство треугольника.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1421 расположенного на странице 364 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1421 (с. 364), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.