Номер 1420, страница 364 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 14. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1420, страница 364.

1420 Постройте треугольник по трём медианам.

Для построения треугольника по трём заданным медианам $m_a, m_b, m_c$ используется метод, основанный на свойстве точки пересечения медиан (центроида) делить каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Анализ

Пусть искомый треугольник $\triangle ABC$ построен. $AA_1, BB_1, CC_1$ — его медианы, длины которых равны $m_a, m_b, m_c$ соответственно. Пусть $O$ — точка пересечения медиан. По свойству медиан:

$AO = \frac{2}{3}m_a$, $OA_1 = \frac{1}{3}m_a$

$BO = \frac{2}{3}m_b$, $OB_1 = \frac{1}{3}m_b$

$CO = \frac{2}{3}m_c$, $OC_1 = \frac{1}{3}m_c$

Продолжим медиану $AA_1$ за точку $A_1$ и отложим на этом продолжении отрезок $A_1D$, равный $OA_1$. Тогда $OD = OA_1 + A_1D = 2 \cdot OA_1 = \frac{2}{3}m_a$.

Рассмотрим четырехугольник $OBDC$. Его диагонали $BC$ и $OD$ пересекаются в точке $A_1$. Так как $A_1$ — середина $BC$ (по определению медианы) и $A_1$ — середина $OD$ (по построению), то $OBDC$ — параллелограмм. Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны:

$CD = OB = \frac{2}{3}m_b$

$BD = OC = \frac{2}{3}m_c$

Таким образом, мы можем построить вспомогательный треугольник $\triangle ODC$, так как известны длины всех его сторон:

$OD = \frac{2}{3}m_a$, $CD = \frac{2}{3}m_b$, $OC = \frac{2}{3}m_c$.

Построив этот треугольник, мы найдем точки $O$, $C$ и $D$. Зная их расположение, мы сможем восстановить весь треугольник $\triangle ABC$.

Построение

1. Возьмем данные отрезки $m_a, m_b, m_c$. Для каждого из них построим отрезок, составляющий $\frac{2}{3}$ его длины. Это можно сделать, разделив каждый отрезок на три равные части (например, с помощью теоремы Фалеса) и взяв две из них. Обозначим полученные длины $s_a = \frac{2}{3}m_a$, $s_b = \frac{2}{3}m_b$, $s_c = \frac{2}{3}m_c$.
2. Построим треугольник $\triangle OGC$ по трем сторонам: $OG = s_a$, $CG = s_b$, $OC = s_c$. (Здесь точка $G$ выполняет роль точки $D$ из анализа).
3. Найдем середину отрезка $OG$ и обозначим ее $A_1$.
4. Проведем луч из точки $C$ через точку $A_1$. На этом луче отложим отрезок $A_1B$, равный отрезку $CA_1$, так что $A_1$ является серединой $CB$. Мы получили вершину $B$.
5. Проведем луч из точки $A_1$ через точку $O$. На этом луче отложим отрезок $OA$, равный отрезку $OG$. Мы получили вершину $A$.
6. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $\triangle ABC$ — искомый.

Доказательство

По построению, точка $A_1$ является серединой стороны $BC$ треугольника $\triangle ABC$. Следовательно, отрезок $AA_1$ является медианой. На прямой $AA_1$ лежит точка $O$. По построению, $A_1$ — середина $OG$, значит $OA_1 = \frac{1}{2}OG$. Также по построению $OA = OG$. Таким образом, $OA = 2 \cdot OA_1$, то есть точка $O$ делит медиану $AA_1$ в отношении 2:1, считая от вершины $A$. Длина этой медианы равна $AA_1 = AO + OA_1 = OG + \frac{1}{2}OG = \frac{3}{2}OG = \frac{3}{2}s_a = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_a) = m_a$.

Рассмотрим четырехугольник $OBGC$. По построению, его диагонали $BC$ и $OG$ пересекаются в точке $A_1$, которая является их серединой. Следовательно, $OBGC$ — параллелограмм. Отсюда $OB = CG$. По построению $CG = s_b = \frac{2}{3}m_b$, значит $OB = \frac{2}{3}m_b$. Так как $O$ — точка пересечения медиан, то полная длина медианы, проведенной из вершины $B$, равна $m_b = \frac{3}{2}OB = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_b) = m_b$.

Длина отрезка $OC$ по построению равна $s_c = \frac{2}{3}m_c$. Следовательно, полная длина медианы из вершины $C$ равна $m_c = \frac{3}{2}OC = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_c) = m_c$.

Таким образом, построенный треугольник $\triangle ABC$ имеет медианы с заданными длинами $m_a, m_b, m_c$.

Исследование

Построение возможно тогда и только тогда, когда можно построить вспомогательный треугольник $\triangle OGC$ со сторонами $s_a, s_b, s_c$. Для этого необходимо, чтобы длины его сторон удовлетворяли неравенству треугольника:

$s_a + s_b > s_c \implies \frac{2}{3}m_a + \frac{2}{3}m_b > \frac{2}{3}m_c \implies m_a + m_b > m_c$

$s_a + s_c > s_b \implies \frac{2}{3}m_a + \frac{2}{3}m_c > \frac{2}{3}m_b \implies m_a + m_c > m_b$

$s_b + s_c > s_a \implies \frac{2}{3}m_b + \frac{2}{3}m_c > \frac{2}{3}m_a \implies m_b + m_c > m_a$

Следовательно, задача имеет решение тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами, равными данным длинам медиан $m_a, m_b, m_c$, можно составить треугольник. Если это условие выполняется, решение единственно с точностью до конгруэнтности.

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника описан выше. Он заключается в построении вспомогательного треугольника со сторонами, равными $\frac{2}{3}$ от длин заданных медиан, и последующем восстановлении исходного треугольника. Задача имеет единственное решение, если данные длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.