Номер 1419, страница 364 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 14. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1419, страница 364.

1419 Даны две пересекающиеся окружности. Постройте отрезок, концы которого лежат соответственно на данных окружностях, а его середина совпадает с одной из точек пересечения данных окружностей.

Для решения этой задачи используется метод геометрических преобразований, а именно — центральная симметрия.

Пусть даны две пересекающиеся окружности $\omega_1$ с центром $O_1$ и $\omega_2$ с центром $O_2$. Пусть они пересекаются в точках $M$ и $N$. Требуется построить отрезок $AB$ так, чтобы его концы $A$ и $B$ лежали на окружностях $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно, а одна из точек пересечения, например $M$, была его серединой.

Условие, что $M$ — середина отрезка $AB$, эквивалентно тому, что точка $B$ является образом точки $A$ при центральной симметрии с центром в точке $M$. Обозначим эту симметрию как $S_M$.

Поскольку по условию точка $A$ принадлежит окружности $\omega_1$, её образ, точка $B = S_M(A)$, должен принадлежать образу окружности $\omega_1$ при симметрии $S_M$. Обозначим этот образ как $\omega'_1 = S_M(\omega_1)$. Образом окружности при центральной симметрии является окружность того же радиуса.

Таким образом, точка $B$ должна удовлетворять двум условиям: во-первых, $B \in \omega_2$ (согласно условию задачи), и во-вторых, $B \in \omega'_1$ (как образ точки с окружности $\omega_1$). Следовательно, точка $B$ является точкой пересечения окружности $\omega_2$ и построенной окружности $\omega'_1$. Это наблюдение и составляет основу построения.

Построение

1. Выбираем одну из точек пересечения данных окружностей, например, точку $M$. Она будет служить центром симметрии и серединой искомого отрезка.
2. Строим окружность $\omega'_1$, которая является образом окружности $\omega_1$ при центральной симметрии относительно точки $M$. Для этого:
a) Находим центр $O'_1$ новой окружности. Он симметричен центру $O_1$ окружности $\omega_1$ относительно точки $M$. Для построения точки $O'_1$ проводим прямую через точки $O_1$ и $M$ и откладываем на ней от точки $M$ отрезок $MO'_1$, равный отрезку $O_1M$, так, чтобы точка $M$ являлась серединой отрезка $O_1O'_1$.
b) Радиус окружности $\omega'_1$ равен радиусу исходной окружности $\omega_1$.
c) Строим окружность $\omega'_1$ с центром в точке $O'_1$ и радиусом, равным радиусу $\omega_1$.
3. Находим точку (или точки) пересечения построенной окружности $\omega'_1$ и второй данной окружности $\omega_2$. Если такие точки существуют, обозначим одну из них буквой $B$. Это будет один из концов искомого отрезка.
4. Строим второй конец отрезка — точку $A$. Точка $A$ должна быть симметрична точке $B$ относительно точки $M$. Для ее построения проводим прямую через точки $B$ и $M$ и откладываем на ней от точки $M$ отрезок $MA$, равный отрезку $BM$, так, чтобы точка $M$ была серединой отрезка $AB$.
5. Отрезок $AB$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный отрезок $AB$ удовлетворяет всем условиям задачи.
- Конец отрезка, точка $B$, лежит на окружности $\omega_2$ по построению (шаг 3), так как она является точкой пересечения $\omega'_1$ и $\omega_2$.
- Точка $M$ является серединой отрезка $AB$ по построению (шаг 4), так как точка $A$ построена как симметричная точке $B$ относительно $M$.
- Остается доказать, что другой конец отрезка, точка $A$, лежит на окружности $\omega_1$. По построению, точка $B$ лежит на окружности $\omega'_1$. Окружность $\omega'_1$ является образом окружности $\omega_1$ при центральной симметрии $S_M$. Точка $A$ является образом точки $B$ при той же симметрии $S_M$. Следовательно, точка $A$ должна лежать на прообразе окружности $\omega'_1$ при симметрии $S_M$, которым и является исходная окружность $\omega_1$.
Таким образом, построенный отрезок $AB$ полностью удовлетворяет условиям задачи.

Исследование

Наличие и количество решений задачи зависит от взаимного расположения окружностей $\omega_2$ и $\omega'_1$.
- Если окружности $\omega_2$ и $\omega'_1$ не пересекаются, то для выбранной точки пересечения $M$ в качестве середины отрезка решений не существует.
- Если окружности $\omega_2$ и $\omega'_1$ касаются (имеют одну общую точку), то существует одно решение для точки $M$.
- Если окружности $\omega_2$ и $\omega'_1$ пересекаются в двух точках, то существует два решения для точки $M$.
Поскольку исходные окружности по условию пересекаются в двух точках ($M$ и $N$), аналогичное построение можно провести, выбрав в качестве середины отрезка вторую точку пересечения, $N$. Это может дать дополнительные решения. В общем случае, задача может иметь от 0 до 4 решений.

Ответ: Алгоритм построения искомого отрезка основан на методе центральной симметрии. Необходимо: 1) Построить окружность $\omega'_1$, симметричную одной из данных окружностей ($\omega_1$) относительно выбранной точки пересечения ($M$). 2) Найти точку $B$ как точку пересечения окружности $\omega'_1$ и второй данной окружности ($\omega_2$). 3) Построить точку $A$, симметричную точке $B$ относительно точки $M$. Отрезок $AB$ будет искомым.