Номер 1412, страница 363 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Задачи к главе 14. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1412, страница 363.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№1412 (с. 363)
Условие. №1412 (с. 363)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1412, Условие

1412 Даны два равных отрезка AB и A₁B₁. Докажите, что существуют два и только два движения, при которых точки A и B отображаются соответственно в точки А₁ и В₁.

Решение 2. №1412 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1412, Решение 2
Решение 3. №1412 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1412, Решение 3
Решение 4. №1412 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1412, Решение 4
Решение 9. №1412 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1412, Решение 9 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1412, Решение 9 (продолжение 2)
Решение 11. №1412 (с. 363)

Доказательство данного утверждения состоит из двух частей. Сначала мы докажем, что существует как минимум два движения, переводящих отрезок $AB$ в отрезок $A_1B_1$. Затем мы докажем, что таких движений не может быть больше двух.

Доказательство существования

Построим два различных движения, удовлетворяющих условиям задачи.

Первое движение ($f_1$): Это движение можно представить как композицию параллельного переноса и поворота.
1. Выполним параллельный перенос $T$ на вектор $\vec{AA_1}$. При этом преобразовании точка $A$ перейдет в точку $A_1$, а точка $B$ — в некоторую точку $B'$. Так как перенос является движением, он сохраняет расстояния: $|A_1B'| = |AB|$.
2. Из условия задачи известно, что $|AB| = |A_1B_1|$. Следовательно, $|A_1B'| = |A_1B_1|$. Это означает, что точки $B'$ и $B_1$ лежат на окружности с центром в точке $A_1$.
3. Выполним поворот $R$ с центром в точке $A_1$ на угол $\angle B'A_1B_1$. Этот поворот переведет точку $B'$ в точку $B_1$, оставив $A_1$ на месте.
Искомое движение $f_1$ является композицией этих преобразований: $f_1 = R \circ T$. Проверим его действие: $f_1(A) = R(T(A)) = R(A_1) = A_1$ и $f_1(B) = R(T(B)) = R(B') = B_1$. Данное движение сохраняет ориентацию плоскости.

Второе движение ($f_2$): Это движение можно получить, скомбинировав первое движение $f_1$ с осевой симметрией.
1. Рассмотрим осевую симметрию $S_L$ относительно прямой $L$, проходящей через точки $A_1$ и $B_1$.
2. Определим второе движение $f_2$ как композицию $f_2 = S_L \circ f_1$. Это преобразование также является движением.
3. Проверим его действие: $f_2(A) = S_L(f_1(A)) = S_L(A_1) = A_1$ и $f_2(B) = S_L(f_1(B)) = S_L(B_1) = B_1$. Точки $A_1$ и $B_1$ остаются неподвижными, так как лежат на оси симметрии.

Движения $f_1$ и $f_2$ различны. Движение $f_1$ сохраняет ориентацию (является движением первого рода), а $f_2$ изменяет ориентацию на противоположную (является движением второго рода). Следовательно, $f_1 \neq f_2$. Мы доказали существование по крайней мере двух различных движений.

Доказательство единственности

Теперь докажем, что других движений, удовлетворяющих условию, не существует.
Пусть $f$ — это произвольное движение, при котором $f(A) = A_1$ и $f(B) = B_1$.
Рассмотрим произвольную точку $C$, не лежащую на прямой $AB$. Ее образ при движении $f$ назовем $C'$, то есть $f(C) = C'$.
По определению, движение сохраняет расстояния, следовательно:
$|A_1C'| = |AC|$
$|B_1C'| = |BC|$
Это означает, что точка $C'$ должна лежать на пересечении двух окружностей: $\omega_1$ с центром в $A_1$ и радиусом $r_1 = |AC|$, и $\omega_2$ с центром в $B_1$ и радиусом $r_2 = |BC|$.
Поскольку точки $A, B, C$ образуют треугольник (так как $C$ не лежит на прямой $AB$), для него выполняется строгое неравенство треугольника: $|AC| + |BC| > |AB|$ и $||AC| - |BC|| < |AB|$. Так как по условию $|AB| = |A_1B_1|$, мы имеем $|r_1 + r_2| > |A_1B_1|$ и $||r_1 - r_2|| < |A_1B_1|$. Это является условием того, что окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются ровно в двух различных точках. Назовем эти точки $C'_1$ и $C'_2$.
Таким образом, для образа точки $C$ существует только два возможных положения: $C'_1$ или $C'_2$.
Движение на плоскости однозначно определяется образами трех точек, не лежащих на одной прямой. Так как образы $f(A)=A_1$ и $f(B)=B_1$ фиксированы, а для образа $f(C)$ есть только два варианта, то может существовать не более двух различных движений:
- Одно, переводящее тройку точек $(A, B, C)$ в $(A_1, B_1, C'_1)$.
- Второе, переводящее тройку точек $(A, B, C)$ в $(A_1, B_1, C'_2)$.
Поскольку мы уже построили два различных движения, это и есть те самые два движения.

Таким образом, доказано, что существует два и только два движения, при которых точки $A$ и $B$ отображаются соответственно в точки $A_1$ и $B_1$.

Ответ: Утверждение доказано. Существование двух движений показано их конструктивным построением (одно — сохраняющее ориентацию, другое — изменяющее). Единственность (то, что их ровно два) следует из того, что образ любой третьей точки, не лежащей на прямой $AB$, может занимать только два определенных положения, каждое из которых однозначно задает одно из двух движений.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1412 расположенного на странице 363 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1412 (с. 363), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться