Номер 1411, страница 363 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Задачи к главе 14. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1411, страница 363.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№1411 (с. 363)
Условие. №1411 (с. 363)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1411, Условие

1411 При данном движении g точка А отображается в точку В, а точка В — в точку А. Докажите, что g — центральная симметрия или осевая симметрия.

Решение 2. №1411 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1411, Решение 2
Решение 3. №1411 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1411, Решение 3
Решение 4. №1411 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1411, Решение 4
Решение 9. №1411 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1411, Решение 9
Решение 11. №1411 (с. 363)

Пусть $g$ — данное движение, при котором точка $A$ отображается в точку $B$, а точка $B$ — в точку $A$. Это можно записать как $g(A) = B$ и $g(B) = A$.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Точки $A$ и $B$ совпадают, то есть $A=B$.

В этом случае условие задачи принимает вид $g(A) = A$. Это означает, что точка $A$ является неподвижной точкой движения $g$.

Движение, имеющее неподвижную точку, является либо поворотом вокруг этой точки, либо осевой симметрией относительно оси, проходящей через эту точку.

  • Центральная симметрия с центром в точке $A$ является поворотом на $180^\circ$ вокруг точки $A$. При этом движении $g(A) = A$, так что это один из возможных вариантов.
  • Осевая симметрия относительно любой прямой $l$, проходящей через точку $A$, также оставляет точку $A$ на месте, то есть $g(A) = A$. Это второй возможный вариант.

Таким образом, в случае $A=B$ движение $g$ может быть центральной симметрией (с центром в $A$) или осевой симметрией (с осью, проходящей через $A$).

2. Точки $A$ и $B$ различны, то есть $A \neq B$.

Рассмотрим композицию движения $g$ с самим собой, то есть движение $g \circ g$. Найдем образы точек $A$ и $B$ при этом новом движении:

$(g \circ g)(A) = g(g(A)) = g(B) = A$

$(g \circ g)(B) = g(g(B)) = g(A) = B$

Таким образом, движение $g \circ g$ оставляет точки $A$ и $B$ на месте, то есть $A$ и $B$ являются неподвижными точками для $g \circ g$.

Движение плоскости, имеющее две различные неподвижные точки, может быть либо тождественным преобразованием (когда все точки плоскости остаются на месте), либо осевой симметрией относительно прямой, проходящей через эти две точки (в нашем случае, прямой $AB$).

Теперь проанализируем тип движения $g \circ g$. Любое движение является либо движением первого рода (сохраняющим ориентацию, например, поворот или параллельный перенос), либо движением второго рода (меняющим ориентацию, например, осевая или скользящая симметрия).

  • Композиция двух движений первого рода есть движение первого рода.
  • Композиция двух движений второго рода есть движение первого рода.
  • Композиция движений разных родов есть движение второго рода.

Следовательно, движение $g \circ g$ в любом случае является движением первого рода (сохраняет ориентацию).

Осевая симметрия является движением второго рода (меняет ориентацию). Тождественное преобразование — движение первого рода.

Поскольку $g \circ g$ должно быть движением первого рода, оно не может быть осевой симметрией. Значит, $g \circ g$ является тождественным преобразованием, которое обозначается как $Id$:

$g \circ g = Id$

Движения, которые при композиции с собой дают тождественное преобразование, называются инволютивными. На плоскости существует три вида инволютивных движений:

  1. Тождественное преобразование.
  2. Центральная симметрия (поворот на $180^\circ$).
  3. Осевая симметрия.

Мы должны выяснить, каким из этих трех видов является движение $g$.

  • $g$ не может быть тождественным преобразованием, так как в этом случае было бы $g(A) = A$, но по условию $g(A) = B$ и $A \neq B$.

Следовательно, движение $g$ может быть только центральной симметрией или осевой симметрией.

Если $g$ — центральная симметрия, то ее центр должен быть серединой отрезка, соединяющего любую точку с ее образом. Из $g(A) = B$ следует, что центр симметрии — середина отрезка $AB$.

Если $g$ — осевая симметрия, то ее ось является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему любую точку (не на оси) с ее образом. Из $g(A) = B$ следует, что ось симметрии — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Объединяя оба случая, мы доказали, что данное движение $g$ является либо центральной симметрией, либо осевой симметрией.

Ответ: Доказано, что движение $g$, удовлетворяющее условиям $g(A) = B$ и $g(B) = A$, является либо центральной симметрией (с центром в середине отрезка $AB$, если $A \neq B$, или с центром в точке $A$, если $A=B$), либо осевой симметрией (с осью, являющейся серединным перпендикуляром к отрезку $AB$, если $A \neq B$, или с осью, проходящей через точку $A$, если $A=B$).

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1411 расположенного на странице 363 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1411 (с. 363), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться