Номер 1410, страница 363 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Задачи к главе 13. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1410, страница 363.
№1410 (с. 363)
Условие. №1410 (с. 363)
скриншот условия

1410 Постройте границу круга, площадь которого равна:
а) площади кольца между двумя данными концентрическими окружностями;
б) площади данного полукруга;
в) площади данного кругового сектора, ограниченного дугой в 60°.
Решение 2. №1410 (с. 363)



Решение 3. №1410 (с. 363)




Решение 4. №1410 (с. 363)

Решение 6. №1410 (с. 363)

Решение 9. №1410 (с. 363)


Решение 11. №1410 (с. 363)
а) Площадь кольца между двумя концентрическими окружностями с радиусами $R$ и $r$ ($R > r$) вычисляется по формуле $S_{кольца} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$. Площадь искомого круга с радиусом $r_x$ равна $S_x = \pi r_x^2$. Приравнивая площади, получаем: $\pi r_x^2 = \pi(R^2 - r^2)$, откуда $r_x^2 = R^2 - r^2$. Это соотношение соответствует теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, где $R$ — гипотенуза, а $r$ и $r_x$ — катеты. Следовательно, для построения радиуса $r_x$ нужно построить такой треугольник.
Построение:
1. Пусть даны две концентрические окружности с центром в точке $O$ и радиусами $R$ и $r$.
2. Выберите произвольную точку $A$ на большей окружности (с радиусом $R$).
3. Из точки $A$ проведите касательную к меньшей окружности (с радиусом $r$). Пусть $B$ — точка касания.
4. Рассмотрим треугольник $\triangle OBA$. Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то $\angle OBA = 90^\circ$.
5. В этом прямоугольном треугольнике гипотенуза $OA$ равна $R$, а катет $OB$ равен $r$. По теореме Пифагора, второй катет $AB$ равен $\sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{R^2 - r^2}$.
6. Таким образом, длина отрезка $AB$ равна искомому радиусу $r_x$.
7. С помощью циркуля отмерьте длину отрезка $AB$ и постройте окружность с этим радиусом. Это и будет граница искомого круга.
Ответ: Искомая окружность имеет радиус, равный длине отрезка касательной, проведенной из любой точки большей окружности к меньшей окружности, до точки касания.
б) Пусть дан полукруг радиусом $R$. Его площадь равна $S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi R^2$. Площадь искомого круга с радиусом $r_x$ равна $S_x = \pi r_x^2$. Приравнивая площади, получаем: $\pi r_x^2 = \frac{1}{2}\pi R^2$, откуда $r_x^2 = \frac{R^2}{2}$, или $r_x = \frac{R}{\sqrt{2}}$. Это соотношение соответствует катету равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна $R$.
Построение:
1. Возьмите отрезок $AB$ длиной, равной данному радиусу $R$.
2. Постройте на отрезке $AB$ как на гипотенузе равнобедренный прямоугольный треугольник. Для этого:
а) Найдите середину $M$ отрезка $AB$.
б) Проведите через точку $M$ прямую, перпендикулярную $AB$.
в) Постройте окружность с центром в $M$ и радиусом $MA = \frac{R}{2}$.
г) Точка пересечения окружности и перпендикуляра, пусть это будет точка $C$, является третьей вершиной искомого треугольника $\triangle ACB$.
3. Треугольник $\triangle ACB$ — равнобедренный ($AC=BC$) и прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$ по теореме Фалеса).
4. Длина катета $AC$ (или $BC$) равна $\sqrt{\frac{AB^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$.
5. Таким образом, длина отрезка $AC$ равна искомому радиусу $r_x$.
6. С помощью циркуля отмерьте длину отрезка $AC$ и постройте окружность с этим радиусом.
Ответ: Искомая окружность имеет радиус, равный катету равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна радиусу данного полукруга.
в) Пусть дан круговой сектор, ограниченный дугой в $60^\circ$, с радиусом $R$. Площадь этого сектора составляет $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ от площади всего круга, то есть $S_{сектора} = \frac{1}{6}\pi R^2$. Площадь искомого круга с радиусом $r_x$ равна $S_x = \pi r_x^2$. Приравнивая площади, получаем: $\pi r_x^2 = \frac{1}{6}\pi R^2$, откуда $r_x^2 = \frac{R^2}{6}$. Это означает, что $r_x$ является средним геометрическим (средним пропорциональным) отрезков длиной $R$ и $\frac{R}{6}$, то есть $r_x = \sqrt{R \cdot \frac{R}{6}}$.
Построение:
1. Сначала построим отрезок длиной $\frac{R}{6}$. Для этого:
а) Начертите отрезок $OA$ длиной $R$.
б) Из точки $O$ проведите произвольный луч, не лежащий на прямой $OA$.
в) На этом луче с помощью циркуля отложите от точки $O$ шесть равных отрезков произвольной длины. Обозначим концы этих отрезков $P_1, P_2, \ldots, P_6$.
г) Соедините точки $P_6$ и $A$.
д) Проведите через точку $P_1$ прямую, параллельную отрезку $P_6A$. Точка пересечения этой прямой с отрезком $OA$ (пусть это будет точка $B$) разделит отрезок $OA$ в отношении $1:5$. Длина отрезка $OB$ будет равна $\frac{R}{6}$.
2. Теперь построим отрезок $r_x$, равный среднему геометрическому отрезков $a = R$ и $b = \frac{R}{6}$. Для этого:
а) Начертите прямую и на ней отметьте точку $P$.
б) Отложите от точки $P$ отрезок $PQ$ длиной $a=R$.
в) От точки $Q$ в том же направлении отложите отрезок $QR$ длиной $b=\frac{R}{6}$.
г) Найдите середину $M$ отрезка $PR$.
д) Постройте полуокружность с центром в $M$ и диаметром $PR$.
е) В точке $Q$ восстановите перпендикуляр к прямой $PR$ до его пересечения с полуокружностью в точке $S$.
ж) Длина отрезка $QS$ по свойству высоты в прямоугольном треугольнике, опущенной на гипотенузу, равна $\sqrt{PQ \cdot QR} = \sqrt{R \cdot \frac{R}{6}}$.
3. Длина отрезка $QS$ равна искомому радиусу $r_x$.
4. С помощью циркуля отмерьте длину отрезка $QS$ и постройте окружность с этим радиусом.
Ответ: Искомая окружность имеет радиус, равный среднему геометрическому между радиусом данного сектора $R$ и отрезком длиной $\frac{R}{6}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1410 расположенного на странице 363 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1410 (с. 363), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.