Номер 1410, страница 363 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Задачи к главе 13. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1410, страница 363.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№1410 (с. 363)
Условие. №1410 (с. 363)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1410, Условие

1410 Постройте границу круга, площадь которого равна:

а) площади кольца между двумя данными концентрическими окружностями;

б) площади данного полукруга;

в) площади данного кругового сектора, ограниченного дугой в 60°.

Решение 2. №1410 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1410, Решение 2 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1410, Решение 2 (продолжение 2) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1410, Решение 2 (продолжение 3)
Решение 3. №1410 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1410, Решение 3 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1410, Решение 3 (продолжение 2) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1410, Решение 3 (продолжение 3) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1410, Решение 3 (продолжение 4)
Решение 4. №1410 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1410, Решение 4
Решение 6. №1410 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1410, Решение 6
Решение 9. №1410 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1410, Решение 9 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1410, Решение 9 (продолжение 2)
Решение 11. №1410 (с. 363)

а) Площадь кольца между двумя концентрическими окружностями с радиусами $R$ и $r$ ($R > r$) вычисляется по формуле $S_{кольца} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$. Площадь искомого круга с радиусом $r_x$ равна $S_x = \pi r_x^2$. Приравнивая площади, получаем: $\pi r_x^2 = \pi(R^2 - r^2)$, откуда $r_x^2 = R^2 - r^2$. Это соотношение соответствует теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, где $R$ — гипотенуза, а $r$ и $r_x$ — катеты. Следовательно, для построения радиуса $r_x$ нужно построить такой треугольник.

Построение:
1. Пусть даны две концентрические окружности с центром в точке $O$ и радиусами $R$ и $r$.
2. Выберите произвольную точку $A$ на большей окружности (с радиусом $R$).
3. Из точки $A$ проведите касательную к меньшей окружности (с радиусом $r$). Пусть $B$ — точка касания.
4. Рассмотрим треугольник $\triangle OBA$. Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то $\angle OBA = 90^\circ$.
5. В этом прямоугольном треугольнике гипотенуза $OA$ равна $R$, а катет $OB$ равен $r$. По теореме Пифагора, второй катет $AB$ равен $\sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{R^2 - r^2}$.
6. Таким образом, длина отрезка $AB$ равна искомому радиусу $r_x$.
7. С помощью циркуля отмерьте длину отрезка $AB$ и постройте окружность с этим радиусом. Это и будет граница искомого круга.

Ответ: Искомая окружность имеет радиус, равный длине отрезка касательной, проведенной из любой точки большей окружности к меньшей окружности, до точки касания.

б) Пусть дан полукруг радиусом $R$. Его площадь равна $S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi R^2$. Площадь искомого круга с радиусом $r_x$ равна $S_x = \pi r_x^2$. Приравнивая площади, получаем: $\pi r_x^2 = \frac{1}{2}\pi R^2$, откуда $r_x^2 = \frac{R^2}{2}$, или $r_x = \frac{R}{\sqrt{2}}$. Это соотношение соответствует катету равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна $R$.

Построение:
1. Возьмите отрезок $AB$ длиной, равной данному радиусу $R$.
2. Постройте на отрезке $AB$ как на гипотенузе равнобедренный прямоугольный треугольник. Для этого:
а) Найдите середину $M$ отрезка $AB$.
б) Проведите через точку $M$ прямую, перпендикулярную $AB$.
в) Постройте окружность с центром в $M$ и радиусом $MA = \frac{R}{2}$.
г) Точка пересечения окружности и перпендикуляра, пусть это будет точка $C$, является третьей вершиной искомого треугольника $\triangle ACB$.
3. Треугольник $\triangle ACB$ — равнобедренный ($AC=BC$) и прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$ по теореме Фалеса).
4. Длина катета $AC$ (или $BC$) равна $\sqrt{\frac{AB^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$.
5. Таким образом, длина отрезка $AC$ равна искомому радиусу $r_x$.
6. С помощью циркуля отмерьте длину отрезка $AC$ и постройте окружность с этим радиусом.

Ответ: Искомая окружность имеет радиус, равный катету равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна радиусу данного полукруга.

в) Пусть дан круговой сектор, ограниченный дугой в $60^\circ$, с радиусом $R$. Площадь этого сектора составляет $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ от площади всего круга, то есть $S_{сектора} = \frac{1}{6}\pi R^2$. Площадь искомого круга с радиусом $r_x$ равна $S_x = \pi r_x^2$. Приравнивая площади, получаем: $\pi r_x^2 = \frac{1}{6}\pi R^2$, откуда $r_x^2 = \frac{R^2}{6}$. Это означает, что $r_x$ является средним геометрическим (средним пропорциональным) отрезков длиной $R$ и $\frac{R}{6}$, то есть $r_x = \sqrt{R \cdot \frac{R}{6}}$.

Построение:
1. Сначала построим отрезок длиной $\frac{R}{6}$. Для этого:
а) Начертите отрезок $OA$ длиной $R$.
б) Из точки $O$ проведите произвольный луч, не лежащий на прямой $OA$.
в) На этом луче с помощью циркуля отложите от точки $O$ шесть равных отрезков произвольной длины. Обозначим концы этих отрезков $P_1, P_2, \ldots, P_6$.
г) Соедините точки $P_6$ и $A$.
д) Проведите через точку $P_1$ прямую, параллельную отрезку $P_6A$. Точка пересечения этой прямой с отрезком $OA$ (пусть это будет точка $B$) разделит отрезок $OA$ в отношении $1:5$. Длина отрезка $OB$ будет равна $\frac{R}{6}$.
2. Теперь построим отрезок $r_x$, равный среднему геометрическому отрезков $a = R$ и $b = \frac{R}{6}$. Для этого:
а) Начертите прямую и на ней отметьте точку $P$.
б) Отложите от точки $P$ отрезок $PQ$ длиной $a=R$.
в) От точки $Q$ в том же направлении отложите отрезок $QR$ длиной $b=\frac{R}{6}$.
г) Найдите середину $M$ отрезка $PR$.
д) Постройте полуокружность с центром в $M$ и диаметром $PR$.
е) В точке $Q$ восстановите перпендикуляр к прямой $PR$ до его пересечения с полуокружностью в точке $S$.
ж) Длина отрезка $QS$ по свойству высоты в прямоугольном треугольнике, опущенной на гипотенузу, равна $\sqrt{PQ \cdot QR} = \sqrt{R \cdot \frac{R}{6}}$.
3. Длина отрезка $QS$ равна искомому радиусу $r_x$.
4. С помощью циркуля отмерьте длину отрезка $QS$ и постройте окружность с этим радиусом.

Ответ: Искомая окружность имеет радиус, равный среднему геометрическому между радиусом данного сектора $R$ и отрезком длиной $\frac{R}{6}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1410 расположенного на странице 363 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1410 (с. 363), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться