Номер 1403, страница 362 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Задачи к главе 13. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1403, страница 362.
№1403 (с. 362)
Условие. №1403 (с. 362)
скриншот условия

1403 В данную окружность впишите правильный пятиугольник.
Решение 2. №1403 (с. 362)

Решение 3. №1403 (с. 362)

Решение 4. №1403 (с. 362)

Решение 9. №1403 (с. 362)

Решение 11. №1403 (с. 362)
Для построения правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность, с помощью циркуля и линейки без делений, необходимо выполнить следующую последовательность действий:
Пусть дана окружность с центром в точке O. Проведем через центр O два взаимно перпендикулярных диаметра. Обозначим одну из точек пересечения с окружностью как A. Другой диаметр пусть пересекает окружность в точках B и C.
Найдем середину одного из радиусов, не содержащего точку A, например, радиуса OB. Обозначим эту середину как точку M. Для нахождения середины отрезка строим его серединный перпендикуляр.
Установим ножку циркуля в точку M, а грифель — в точку A. Проведем дугу окружности с центром M и радиусом MA до пересечения с диаметром BC в точке D, которая лежит между O и C.
Длина отрезка AD является стороной искомого правильного пятиугольника. Математическое обоснование: пусть радиус исходной окружности равен $R$. Тогда $OA=R$, $OB=R$, и $OM = OB/2 = R/2$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle OMA$ гипотенуза $MA$ равна: $MA = \sqrt{OA^2 + OM^2} = \sqrt{R^2 + (R/2)^2} = \sqrt{R^2 + R^2/4} = \sqrt{\frac{5R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{5}}{2}$.
По построению, радиус дуги $MD$ равен $MA$, значит $MD = \frac{R\sqrt{5}}{2}$. Длина отрезка $OD$ равна $MD - OM = \frac{R\sqrt{5}}{2} - \frac{R}{2} = R\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle ODA$ по теореме Пифагора найдем длину стороны $AD$: $AD^2 = OA^2 + OD^2 = R^2 + \left(R\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2 = R^2\left(1 + \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{4}\right) = R^2\left(\frac{4+6-2\sqrt{5}}{4}\right) = R^2\frac{10-2\sqrt{5}}{4}$. Эта величина в точности равна квадрату стороны $a_5$ правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, которая равна $a_5^2 = R^2\frac{10-2\sqrt{5}}{4}$.
Установим раствор циркуля равным длине отрезка $AD$. Начиная с точки A, последовательно отложим на окружности хорды, равные $AD$. Получим точки $P_1, P_2, P_3, P_4$. Исходная точка A будет пятой вершиной ($P_5$).
Соединив последовательно точки $A, P_1, P_2, P_3, P_4$ отрезками, получим правильный пятиугольник $AP_1P_2P_3P_4$, вписанный в данную окружность.
Ответ: Выполнив описанную последовательность шагов с помощью циркуля и линейки, мы построим искомый правильный пятиугольник, все вершины которого лежат на данной окружности, а все стороны и углы равны между собой. Длина стороны построенного пятиугольника равна отрезку $AD$, полученному в ходе построения.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1403 расположенного на странице 362 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1403 (с. 362), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.