Номер 1397, страница 361 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 12. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1397, страница 361.

1397 В остроугольном треугольнике ABC сторона AB больше стороны ВС, отрезки AM и CN — высоты треугольника, точка О — центр описанной окружности. Угол ABC равен β, а площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите сторону AC.

Пусть $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Согласно обобщенной теореме синусов, сторону $AC$ можно выразить через радиус описанной окружности и противолежащий угол $\angle ABC = \beta$:$$ AC = 2R \sin\beta $$Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса $R$.

Площадь четырехугольника $NOMB$ равна сумме площадей треугольников $OMB$ и $ONB$:$$ S = S_{NOMB} = S_{\triangle OMB} + S_{\triangle ONB} $$Выразим площади этих треугольников, используя формулу $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Сторона $OB$ в обоих треугольниках является радиусом описанной окружности, т.е. $OB = R$.

Рассмотрим отрезки $BM$ и $BN$.Поскольку $AM$ — высота, треугольник $AMB$ является прямоугольным с $\angle AMB = 90^\circ$. Из него находим:$$ BM = AB \cos(\angle ABM) = AB \cos\beta $$Поскольку $CN$ — высота, треугольник $CNB$ является прямоугольным с $\angle CNB = 90^\circ$. Из него находим:$$ BN = BC \cos(\angle CBN) = BC \cos\beta $$

Теперь найдем углы $\angle OBM$ и $\angle OBN$.Точка $O$ — центр описанной окружности. Треугольники $AOB$ и $BOC$ равнобедренные, так как $OA=OB=OC=R$.В равнобедренном треугольнике $BOC$ угол при вершине $\angle BOC$ является центральным и опирается на дугу $BC$. Его величина в два раза больше вписанного угла $\angle BAC$, т.е. $\angle BOC = 2\angle A$. Тогда углы при основании равны:$$ \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - 2\angle A}{2} = 90^\circ - \angle A $$Так как точка $M$ лежит на стороне $BC$, то $\angle OBM = \angle OBC = 90^\circ - \angle A$.

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $AOB$ центральный угол $\angle AOB = 2\angle C$. Углы при основании равны:$$ \angle OBA = \angle OAB = \frac{180^\circ - 2\angle C}{2} = 90^\circ - \angle C $$Так как точка $N$ лежит на стороне $AB$, то $\angle OBN = \angle OBA = 90^\circ - \angle C$.

Теперь можем вычислить площади треугольников $OMB$ и $ONB$:$$ S_{\triangle OMB} = \frac{1}{2} OB \cdot BM \cdot \sin(\angle OBM) = \frac{1}{2} R \cdot (AB \cos\beta) \cdot \sin(90^\circ - \angle A) = \frac{1}{2} R \cdot AB \cos\beta \cos A $$$$ S_{\triangle ONB} = \frac{1}{2} OB \cdot BN \cdot \sin(\angle OBN) = \frac{1}{2} R \cdot (BC \cos\beta) \cdot \sin(90^\circ - \angle C) = \frac{1}{2} R \cdot BC \cos\beta \cos C $$

Складывая эти площади, получаем площадь четырехугольника $NOMB$:$$ S = S_{\triangle OMB} + S_{\triangle ONB} = \frac{1}{2} R \cos\beta (AB \cos A + BC \cos C) $$Применим теорему синусов для сторон $AB$ и $BC$: $AB = 2R\sin C$ и $BC = 2R\sin A$. Подставим их в выражение для площади:$$ S = \frac{1}{2} R \cos\beta ( (2R\sin C) \cos A + (2R\sin A) \cos C ) $$$$ S = R^2 \cos\beta (\sin C \cos A + \sin A \cos C) $$Используя формулу синуса суммы углов $\sin(A+C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C$, получаем:$$ S = R^2 \cos\beta \sin(A+C) $$В треугольнике $ABC$ сумма углов $A+B+C=180^\circ$, поэтому $A+C = 180^\circ - B = 180^\circ - \beta$.Следовательно, $\sin(A+C) = \sin(180^\circ - \beta) = \sin\beta$.Подставляем это в формулу для площади:$$ S = R^2 \cos\beta \sin\beta $$

Из этого выражения найдем $R^2$:$$ R^2 = \frac{S}{\sin\beta \cos\beta} $$Теперь вернемся к формуле для стороны $AC$:$$ AC = 2R \sin\beta $$Возведем обе части в квадрат:$$ AC^2 = 4R^2 \sin^2\beta $$Подставим найденное выражение для $R^2$:$$ AC^2 = 4 \left( \frac{S}{\sin\beta \cos\beta} \right) \sin^2\beta = 4S \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = 4S \tan\beta $$Отсюда находим $AC$:$$ AC = \sqrt{4S \tan\beta} = 2\sqrt{S \tan\beta} $$

Ответ: $AC = 2\sqrt{S \tan\beta}$.