Номер 1390, страница 361 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Задачи к главе 12. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1390, страница 361.
№1390 (с. 361)
Условие. №1390 (с. 361)
скриншот условия

1390 Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Площадь треугольника ОDC есть среднее пропорциональное между площадями треугольников ОВС и ОАD. Докажите, что ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС или параллелограмм.
Решение 2. №1390 (с. 361)

Решение 3. №1390 (с. 361)

Решение 4. №1390 (с. 361)

Решение 6. №1390 (с. 361)



Решение 9. №1390 (с. 361)


Решение 11. №1390 (с. 361)
Пусть $S_{OBC}$, $S_{OAD}$ и $S_{ODC}$ — это площади треугольников $\triangle OBC$, $\triangle OAD$ и $\triangle ODC$ соответственно. По условию задачи, площадь треугольника $ODC$ является средним пропорциональным (средним геометрическим) между площадями треугольников $OBC$ и $OAD$. Это можно записать в виде формулы:
$S_{ODC} = \sqrt{S_{OBC} \cdot S_{OAD}}$
Возведя обе части равенства в квадрат, получим:
$S_{ODC}^2 = S_{OBC} \cdot S_{OAD}$
Выразим площади треугольников через длины отрезков диагоналей и угол между ними. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются под углом $\angle BOC = \alpha$. Тогда вертикальный ему угол $\angle AOD = \alpha$, а смежные с ними углы $\angle COD = \angle AOB = 180^\circ - \alpha$.
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Таким образом:
- $S_{OBC} = \frac{1}{2} OB \cdot OC \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} OB \cdot OC \cdot \sin\alpha$
- $S_{OAD} = \frac{1}{2} OA \cdot OD \cdot \sin(\angle AOD) = \frac{1}{2} OA \cdot OD \cdot \sin\alpha$
- $S_{ODC} = \frac{1}{2} OD \cdot OC \cdot \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} OD \cdot OC \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} OD \cdot OC \cdot \sin\alpha$
Подставим эти выражения в исходное равенство:
$(\frac{1}{2} OD \cdot OC \cdot \sin\alpha)^2 = (\frac{1}{2} OB \cdot OC \cdot \sin\alpha) \cdot (\frac{1}{2} OA \cdot OD \cdot \sin\alpha)$
$\frac{1}{4} OD^2 \cdot OC^2 \cdot \sin^2\alpha = \frac{1}{4} \cdot OB \cdot OC \cdot OA \cdot OD \cdot \sin^2\alpha$
Поскольку диагонали пересекаются, угол $\alpha$ не равен $0^\circ$ или $180^\circ$, следовательно, $\sin\alpha \neq 0$. Также длины отрезков диагоналей являются положительными величинами. Поэтому мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{1}{4} \sin^2\alpha \cdot OD \cdot OC$:
$OD \cdot OC = OA \cdot OB$
Перегруппируем это равенство, чтобы получить пропорцию:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB}$
Рассмотрим треугольники $\triangle OAD$ и $\triangle OCB$.
- Отношения их сторон пропорциональны: $\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB}$.
- Углы, заключенные между этими сторонами, равны, так как являются вертикальными: $\angle AOD = \angle COB$.
По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), следует, что $\triangle OAD \sim \triangle OCB$.
Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов:
$\angle OAD = \angle OCB$, то есть $\angle CAD = \angle BCA$.
Углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими углами при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Поскольку эти углы равны, прямые $AD$ и $BC$ параллельны: $AD \parallel BC$.
Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, является трапецией. Следовательно, $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$.
Если четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть $OA = OC$ и $OB = OD$. В этом случае полученное нами соотношение $\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB}$ превращается в верное равенство $1 = 1$. Так как у параллелограмма противоположные стороны параллельны ($AD \parallel BC$), он является частным случаем трапеции. Таким образом, утверждение задачи полностью доказано.
Ответ: Условие, что площадь треугольника $ODC$ есть среднее пропорциональное между площадями треугольников $OBC$ и $OAD$, приводит к равенству $\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB}$. Это, в свою очередь, доказывает подобие треугольников $\triangle OAD$ и $\triangle OCB$, из которого следует параллельность прямых $AD$ и $BC$. Следовательно, четырёхугольник $ABCD$ является трапецией с основаниями $AD$ и $BC$. Параллелограмм является частным случаем такой трапеции, поэтому утверждение полностью доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1390 расположенного на странице 361 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1390 (с. 361), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.