Номер 1383, страница 360 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 11. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1383, страница 360.

1383 Докажите, что:
а) уравнение Ax + Ву + С = 0, где A и B одновременно не равны нулю, является уравнением прямой;
б) уравнение x² − xy − 2 = 0 не является уравнением окружности.

а) Доказательство того, что уравнение $Ax + By + C = 0$ (где $A$ и $B$ одновременно не равны нулю) является уравнением прямой, основано на рассмотрении двух возможных случаев.
1. Случай, когда $B \neq 0$. В этом случае мы можем выразить $y$ из уравнения:
$By = -Ax - C$
$y = (-\frac{A}{B})x - \frac{C}{B}$
Полученное уравнение имеет вид $y = kx + m$, где $k = -\frac{A}{B}$ и $m = -\frac{C}{B}$. Это каноническое уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2. Случай, когда $B = 0$. Согласно условию, $A$ и $B$ не могут быть равны нулю одновременно, поэтому если $B = 0$, то $A \neq 0$. Уравнение принимает вид:
$Ax + C = 0$
$Ax = -C$
$x = -\frac{C}{A}$
Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси ординат ($Oy$) и проходящую через точку с абсциссой $x = -\frac{C}{A}$.
Поскольку в обоих возможных случаях уравнение описывает прямую, утверждение доказано.
Ответ: Уравнение $Ax + By + C = 0$, где $A$ и $B$ не равны нулю одновременно, всегда можно привести к виду $y=kx+m$ (если $B \neq 0$) или к виду $x=c$ (если $B=0$ и $A \neq 0$), которые являются уравнениями прямой, что и требовалось доказать.

б) Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$
Если раскрыть скобки в этом уравнении, мы получим:
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = R^2$
Приведя его к общему виду, получим:
$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - R^2) = 0$
Ключевыми особенностями уравнения окружности являются:
1. Коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ равны (и не равны нулю).
2. Отсутствует член, содержащий произведение переменных $xy$.
Теперь рассмотрим данное в задаче уравнение: $x^2 - xy - 2 = 0$.
В этом уравнении присутствует член $-xy$. Как было показано выше, в общем уравнении окружности такой член отсутствует. Кроме того, в данном уравнении отсутствует член $y^2$. По этим причинам данное уравнение не может задавать окружность.
Ответ: Уравнение $x^2 - xy - 2 = 0$ не является уравнением окружности, так как общее уравнение окружности не содержит члена с произведением переменных $xy$, а также требует наличия члена $y^2$ с тем же коэффициентом, что и у $x^2$.