Номер 1389, страница 361 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Задачи к главе 12. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1389, страница 361.
№1389 (с. 361)
Условие. №1389 (с. 361)
скриншот условия


1389 На сторонах квадрата MNPQ взяты точки A и B так, что (рис. 421). Докажите, что ∠AMВ=45°.

Решение 2. №1389 (с. 361)

Решение 3. №1389 (с. 361)

Решение 4. №1389 (с. 361)

Решение 6. №1389 (с. 361)



Решение 9. №1389 (с. 361)


Решение 11. №1389 (с. 361)
Доказательство
Пусть сторона квадрата $MNPQ$ равна $a$. Тогда $MN = NP = PQ = QM = a$.
Согласно условию задачи, точка $A$ лежит на стороне $NP$, а точка $B$ — на стороне $PQ$. Из этого следует, что треугольники $\triangle MNA$ и $\triangle MQB$ являются прямоугольными, поскольку углы $\angle MNA$ и $\angle MQB$ — это углы квадрата, равные $90^\circ$.
По условию даны длины отрезков $NA$ и $QB$:
$NA = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{2}a$
$QB = \frac{1}{3}MN = \frac{1}{3}a$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MNA$. Найдем тангенс угла $\angle NMA$:
$\tan(\angle NMA) = \frac{NA}{MN} = \frac{\frac{1}{2}a}{a} = \frac{1}{2}$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MQB$. Найдем тангенс угла $\angle QMB$:
$\tan(\angle QMB) = \frac{QB}{MQ} = \frac{\frac{1}{3}a}{a} = \frac{1}{3}$
Угол квадрата при вершине $M$ равен $\angle NMQ = 90^\circ$. Из рисунка видно, что искомый угол $\angle AMB$ можно найти как разность:
$\angle AMB = \angle NMQ - \angle NMA - \angle QMB = 90^\circ - (\angle NMA + \angle QMB)$
Чтобы найти сумму углов $\angle NMA + \angle QMB$, воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$.
$\tan(\angle NMA + \angle QMB) = \frac{\tan(\angle NMA) + \tan(\angle QMB)}{1 - \tan(\angle NMA) \cdot \tan(\angle QMB)} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3+2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$
Поскольку тангенс суммы углов $\angle NMA$ и $\angle QMB$ равен 1, а каждый из этих углов острый (как острые углы в прямоугольных треугольниках), то их сумма равна $45^\circ$.
$\angle NMA + \angle QMB = 45^\circ$
Теперь найдем искомый угол $\angle AMB$:
$\angle AMB = 90^\circ - (\angle NMA + \angle QMB) = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Угол $\angle AMB$ равен $45^\circ$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1389 расположенного на странице 361 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1389 (с. 361), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.