Номер 1384, страница 360 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 11. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1384, страница 360.

1384 Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями (x − 1)² + (у − 2)² = 4 и x² + у² = 1, и вычислите длину их общей хорды.

Для нахождения точек пересечения двух окружностей необходимо решить систему уравнений, которыми они заданы:

$\begin{cases} (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases}$

Раскроем скобки в первом уравнении:

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 4$

Перегруппируем слагаемые:

$(x^2 + y^2) - 2x - 4y + 5 = 4$

Воспользуемся вторым уравнением системы, $x^2 + y^2 = 1$, и подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$1 - 2x - 4y + 5 = 4$

$6 - 2x - 4y = 4$

$-2x - 4y = 4 - 6$

$-2x - 4y = -2$

Разделим обе части уравнения на $-2$:

$x + 2y = 1$

Полученное линейное уравнение является уравнением прямой, проходящей через точки пересечения окружностей (это их радикальная ось). Теперь задача сводится к нахождению точек пересечения этой прямой и одной из окружностей (выберем вторую, так как ее уравнение проще):

$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 1 - 2y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(1 - 2y)^2 + y^2 = 1$

$1 - 4y + 4y^2 + y^2 = 1$

$5y^2 - 4y = 0$

Вынесем $y$ за скобку:

$y(5y - 4) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$y_1 = 0$

$5y_2 - 4 = 0 \implies y_2 = \frac{4}{5}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого из найденных $y$, используя формулу $x = 1 - 2y$:

При $y_1 = 0$, $x_1 = 1 - 2(0) = 1$.

При $y_2 = \frac{4}{5}$, $x_2 = 1 - 2\left(\frac{4}{5}\right) = 1 - \frac{8}{5} = \frac{5-8}{5} = -\frac{3}{5}$.

Таким образом, мы нашли две точки пересечения: $A(1, 0)$ и $B\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$.

Далее, вычислим длину общей хорды. Общая хорда — это отрезок, соединяющий точки пересечения $A$ и $B$. Длину этого отрезка можно найти по формуле расстояния между двумя точками:

$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$L = \sqrt{\left(-\frac{3}{5} - 1\right)^2 + \left(\frac{4}{5} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{8}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2}$

$L = \sqrt{\frac{64}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{80}{25}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 5}{25}} = \frac{\sqrt{16}\sqrt{5}}{\sqrt{25}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

Ответ: точки пересечения $(1, 0)$ и $(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$; длина общей хорды $\frac{4\sqrt{5}}{5}$.