Номер 1379, страница 360 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 11. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1379, страница 360.

1379 Вершины треугольника ABC имеют координаты A (−3; 0), B (0; 4), C (3; 0). Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D. Найдите координаты точки D.

Чтобы найти координаты точки D, воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы AD угла A в треугольнике ABC справедливо соотношение:

$$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} $$

Для применения этого свойства нам необходимо сначала найти длины сторон AB и AC.

1. Вычисление длин сторон AB и AC

Длину отрезка между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ находим по формуле:

$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

Имеем координаты вершин: A(-3; 0), B(0; 4), C(3; 0).

Найдем длину стороны AB:

$$ AB = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

Найдем длину стороны AC:

$$ AC = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6 $$

2. Определение отношения, в котором точка D делит сторону BC

Теперь мы можем найти отношение, в котором биссектриса AD делит сторону BC:

$$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{6} $$

Таким образом, точка D делит отрезок BC в отношении $5:6$, считая от точки B.

3. Нахождение координат точки D

Координаты точки D, которая делит отрезок BC с концами в точках $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$ в отношении $m:n$, вычисляются по формулам деления отрезка в данном отношении:

$$ x_D = \frac{n \cdot x_B + m \cdot x_C}{m + n} $$

$$ y_D = \frac{n \cdot y_B + m \cdot y_C}{m + n} $$

Подставим известные значения: $B(0; 4)$, $C(3; 0)$, $m=5$, $n=6$.

Координата x точки D:

$$ x_D = \frac{6 \cdot 0 + 5 \cdot 3}{5 + 6} = \frac{0 + 15}{11} = \frac{15}{11} $$

Координата y точки D:

$$ y_D = \frac{6 \cdot 4 + 5 \cdot 0}{5 + 6} = \frac{24 + 0}{11} = \frac{24}{11} $$

Следовательно, координаты точки D есть $(\frac{15}{11}; \frac{24}{11})$.

Ответ: $D(\frac{15}{11}; \frac{24}{11})$.