Номер 1374, страница 359 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 10. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1374, страница 359.

1374 Биссектрисы внешних углов треугольника ABC при вершинах А, В и С пересекают прямые ВС, СА и AB соответственно в точках А₁, B₁ и С₁. Используя векторы, докажите, что точки А₁, В₁ и С₁ лежат на одной прямой.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон, противолежащих вершинам $A, B, C$, как $a, b, c$ соответственно, то есть $a = |BC|$, $b = |AC|$, $c = |AB|$. Положение вершин треугольника зададим их радиус-векторами $\vec{r_A}, \vec{r_B}, \vec{r_C}$, проведенными из некоторого произвольного начала координат $O$.

Точка $A_1$ является точкой пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине $A$ с прямой $BC$. Согласно свойству биссектрисы внешнего угла треугольника, она делит противолежащую сторону внешним образом в отношении, равном отношению прилежащих сторон:$$ \frac{|A_1B|}{|A_1C|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{c}{b} $$Поскольку точка $A_1$ делит отрезок $BC$ внешним образом, векторы $\vec{BA_1}$ и $\vec{A_1C}$ связаны соотношением $\vec{BA_1} = -\frac{c}{b} \vec{A_1C}$, где знак "минус" указывает на внешнее деление.

Выразим радиус-вектор точки $A_1$ (обозначим его $\vec{r_{A_1}}$) через радиус-векторы точек $B$ и $C$. Из векторного соотношения $\vec{r_{A_1}} - \vec{r_B} = -\frac{c}{b}(\vec{r_C} - \vec{r_{A_1}})$ следует:$$ b(\vec{r_{A_1}} - \vec{r_B}) = -c(\vec{r_C} - \vec{r_{A_1}}) $$$$ b\vec{r_{A_1}} - b\vec{r_B} = -c\vec{r_C} + c\vec{r_{A_1}} $$$$ (c-b)\vec{r_{A_1}} = c\vec{r_C} - b\vec{r_B} $$$$ \vec{r_{A_1}} = \frac{c\vec{r_C} - b\vec{r_B}}{c-b} $$Эта формула имеет смысл, если $b \neq c$. Если $b=c$, то биссектриса внешнего угла при вершине $A$ параллельна стороне $BC$, и точка пересечения $A_1$ не существует в евклидовой плоскости (она находится в бесконечности). Условие задачи "пересекают" подразумевает, что точки $A_1, B_1, C_1$ существуют и конечны. Следовательно, мы можем считать, что треугольник $ABC$ не является равнобедренным, то есть его стороны попарно различны ($a \neq b$, $b \neq c$, $c \neq a$).

Аналогично, для точек $B_1$ и $C_1$, которые являются точками пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $B$ и $C$ с прямыми $CA$ и $AB$ соответственно, путем циклической перестановки индексов и длин сторон $(A \to B \to C \to A$ и $a \to b \to c \to a)$ получаем выражения для их радиус-векторов:$$ \vec{r_{B_1}} = \frac{a\vec{r_A} - c\vec{r_C}}{a-c} $$$$ \vec{r_{C_1}} = \frac{b\vec{r_B} - a\vec{r_A}}{b-a} $$

Для того чтобы доказать, что точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на одной прямой, необходимо и достаточно показать их коллинеарность. Точки $A_1, B_1, C_1$ коллинеарны, если существуют такие скаляры $\alpha, \beta, \gamma$, не все одновременно равные нулю, что выполняются два условия:$$ \alpha + \beta + \gamma = 0 $$$$ \alpha \vec{r_{A_1}} + \beta \vec{r_{B_1}} + \gamma \vec{r_{C_1}} = \vec{0} $$

Подберем такие скаляры. Рассмотрим $\alpha = c-b$, $\beta = a-c$, $\gamma = b-a$. Так как треугольник разносторонний, ни один из этих скаляров не равен нулю.Проверим первое условие — сумму скаляров:$$ \alpha + \beta + \gamma = (c-b) + (a-c) + (b-a) = c-b+a-c+b-a = 0 $$Первое условие выполняется.

Теперь проверим второе условие — линейную комбинацию радиус-векторов. Подставим выбранные скаляры и выражения для радиус-векторов:$$ \alpha \vec{r_{A_1}} + \beta \vec{r_{B_1}} + \gamma \vec{r_{C_1}} = (c-b)\vec{r_{A_1}} + (a-c)\vec{r_{B_1}} + (b-a)\vec{r_{C_1}} = $$$$ = (c-b) \left( \frac{c\vec{r_C} - b\vec{r_B}}{c-b} \right) + (a-c) \left( \frac{a\vec{r_A} - c\vec{r_C}}{a-c} \right) + (b-a) \left( \frac{b\vec{r_B} - a\vec{r_A}}{b-a} \right) $$После сокращения дробей получаем:$$ = (c\vec{r_C} - b\vec{r_B}) + (a\vec{r_A} - c\vec{r_C}) + (b\vec{r_B} - a\vec{r_A}) $$Сгруппируем слагаемые при одинаковых радиус-векторах:$$ = \vec{r_A}(a-a) + \vec{r_B}(-b+b) + \vec{r_C}(c-c) = 0 \cdot \vec{r_A} + 0 \cdot \vec{r_B} + 0 \cdot \vec{r_C} = \vec{0} $$Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия коллинеарности для точек $A_1, B_1, C_1$ выполнены, это доказывает, что они лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение задачи доказано. Точки $A_1, B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.