Номер 1380, страница 360 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 11. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1380, страница 360.

1380 В треугольнике ABC: AC = 9 см, ВС = 12 см. Медианы AM и BN взаимно перпендикулярны. Найдите AB.

Дано:

Треугольник $ABC$.

$AC = 9$ см.

$BC = 12$ см.

$AM$ – медиана.

$BN$ – медиана.

$AM \perp BN$.

Найти:

$AB$.

Решение:

1. Пусть медианы $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $O$. По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Следовательно, $AO : OM = 2:1$ и $BO : ON = 2:1$.

2. Так как $AM$ и $BN$ – медианы, то $M$ – середина $BC$, а $N$ – середина $AC$. Найдем длины отрезков $MC$ и $NC$:

$MC = \frac{1}{2} BC = \frac{12}{2} = 6$ см.

$NC = \frac{1}{2} AC = \frac{9}{2} = 4,5$ см.

3. По условию, медианы $AM$ и $BN$ взаимно перпендикулярны, значит $\angle AOB = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle AON$, $\triangle BOM$ и $\triangle AOB$ являются прямоугольными.

4. Введем переменные. Пусть $OM = x$ и $ON = y$. Тогда, согласно свойству точки пересечения медиан, $AO = 2x$ и $BO = 2y$.

5. Применим теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $\triangle AON$ и $\triangle BOM$:

• В $\triangle AON$ (где $\angle AON = 90^\circ$):
  $AN^2 = AO^2 + ON^2$
  $(4,5)^2 = (2x)^2 + y^2$
  $20,25 = 4x^2 + y^2$ (1)
• В $\triangle BOM$ (где $\angle BOM = 90^\circ$):
  $BM^2 = BO^2 + OM^2$
  $6^2 = (2y)^2 + x^2$
  $36 = 4y^2 + x^2$ (2)

6. Мы получили систему из двух уравнений. Сложим их:

$(4x^2 + y^2) + (x^2 + 4y^2) = 20,25 + 36$

$5x^2 + 5y^2 = 56,25$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x^2 + y^2 = 11,25$

7. Теперь найдем длину стороны $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$ (где $\angle AOB = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$AB^2 = AO^2 + BO^2$

Подставим выражения через $x$ и $y$:

$AB^2 = (2x)^2 + (2y)^2 = 4x^2 + 4y^2 = 4(x^2 + y^2)$

Из шага 6 мы знаем, что $x^2 + y^2 = 11,25$. Подставим это значение:

$AB^2 = 4 \cdot 11,25 = 45$

$AB = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Ответ: $3\sqrt{5}$ см.