Номер 1386, страница 360 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 11. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1386, страница 360.

1386 Даны прямая a и точка А, не лежащая на ней. Для каждой точки М₁ прямой а на луче AM₁ взята такая точка M, что AM₁ ⋅ AM = k, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек M.

Пусть $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $a$. Расстояние от точки $A$ до прямой $a$ обозначим через $h$, то есть $AP = h$.

Рассмотрим точку $D$ на луче $AP$ такую, что $AP \cdot AD = k$. Так как $AP = h$, то $h \cdot AD = k$, откуда $AD = \frac{k}{h}$. Эта точка $D$ является фиксированной, так как $A$, $P$ и $k$ заданы.

Пусть $M_1$ — произвольная точка на прямой $a$, а $M$ — соответствующая точка на луче $AM_1$, для которой выполняется условие $AM_1 \cdot AM = k$.

Мы можем переписать это условие, используя точку $D$:$AM_1 \cdot AM = AP \cdot AD$

Из этого равенства следует пропорция:$\frac{AM}{AP} = \frac{AD}{AM_1}$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AMD$ и $\triangle APM_1$. У этих треугольников общий угол $\angle DAM = \angle PAM_1$. Кроме того, стороны, образующие этот угол, пропорциональны, как мы показали выше. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AMD \sim \triangle APM_1$.

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AMD = \angle APM_1$.

По построению, $AP$ является перпендикуляром к прямой $a$, на которой лежит отрезок $PM_1$. Значит, угол $\angle APM_1$ — прямой, то есть $\angle APM_1 = 90^\circ$.

Следовательно, $\angle AMD = 90^\circ$. Это означает, что точка $M$ лежит на окружности, построенной на отрезке $AD$ как на диаметре.

Это рассуждение верно для любой точки $M_1$ на прямой $a$. Когда точка $M_1$ пробегает всю прямую $a$, луч $AM_1$ описывает все направления из точки $A$ (кроме направления, противоположного лучу $AP$), и точка $M$ пробегает все точки построенной окружности.

Заметим, что точка $A$ не принадлежит искомому множеству. Если бы $M=A$, то $AM=0$, что противоречит условию $AM \cdot AM_1 = k > 0$. Точка $A$ является предельной для множества точек $M$, когда точка $M_1$ уходит в бесконечность по прямой $a$.

Ответ: Искомое множество точек $M$ — это окружность, проходящая через точку $A$, с центром на прямой, перпендикулярной прямой $a$ и проходящей через $A$. Диаметр этой окружности, исходящий из точки $A$, равен $\frac{k}{h}$, где $h$ — расстояние от точки $A$ до прямой $a$. Сама точка $A$ исключается из этого множества.