Номер 1392, страница 361 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Задачи к главе 12. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1392, страница 361.
№1392 (с. 361)
Условие. №1392 (с. 361)
скриншот условия

1392 Докажите, что в треугольнике ABC биссектриса АА₁ вычисляется по формуле AA₁ = 2bc cosA2b + c, где b = AC, с = AB.
Решение 2. №1392 (с. 361)

Решение 3. №1392 (с. 361)

Решение 4. №1392 (с. 361)

Решение 9. №1392 (с. 361)


Решение 11. №1392 (с. 361)
Для доказательства данной формулы воспользуемся методом, основанным на площади треугольника.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть $AA_1$ — биссектриса угла $A$, ее длина равна $l_a$. По условию, $b = AC$ и $c = AB$. Биссектриса $AA_1$ делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAA_1 = \angle CAA_1 = \frac{A}{2}$.
Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABA_1$ и $ACA_1$, на которые его разделяет биссектриса $AA_1$: $S_{ABC} = S_{ABA_1} + S_{ACA_1}$
Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}xy \sin\gamma$, где $x$ и $y$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Выразим площади всех трех треугольников через эту формулу:
Площадь всего треугольника $ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2}bc \sin A$
Площадь треугольника $ABA_1$: $S_{ABA_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle BAA_1) = \frac{1}{2}c \cdot l_a \cdot \sin\frac{A}{2}$
Площадь треугольника $ACA_1$: $S_{ACA_1} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle CAA_1) = \frac{1}{2}b \cdot l_a \cdot \sin\frac{A}{2}$
Теперь подставим эти выражения в равенство площадей: $\frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}c l_a \sin\frac{A}{2} + \frac{1}{2}b l_a \sin\frac{A}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2 и вынесем общий множитель $l_a \sin\frac{A}{2}$ за скобки в правой части: $bc \sin A = l_a \sin\frac{A}{2} (b+c)$
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin A = 2 \sin\frac{A}{2} \cos\frac{A}{2}$. Подставим это выражение в левую часть уравнения: $bc \left(2 \sin\frac{A}{2} \cos\frac{A}{2}\right) = l_a (b+c) \sin\frac{A}{2}$
Так как $A$ — угол треугольника, то $0 < A < 180^\circ$, а значит $0 < \frac{A}{2} < 90^\circ$. В этом диапазоне $\sin\frac{A}{2} \neq 0$, поэтому мы можем сократить обе части уравнения на $\sin\frac{A}{2}$: $2bc \cos\frac{A}{2} = l_a (b+c)$
Наконец, выразим длину биссектрисы $l_a = AA_1$: $AA_1 = \frac{2bc \cos\frac{A}{2}}{b+c}$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Формула $AA_1 = \frac{2bc \cos\frac{A}{2}}{b+c}$ доказана.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1392 расположенного на странице 361 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1392 (с. 361), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.