Номер 1391, страница 361 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 12. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1391, страница 361.

1391 Докажите, что площадь S произвольного четырёхугольника со сторонами а, b, с, d (последовательно) удовлетворяет неравенству S ≤ 12(ac + bd).

Рассмотрим произвольный выпуклый четырёхугольник. Обозначим его вершины как A, B, C, D, а длины его сторон последовательно: $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DA = d$.Площадь любого выпуклого четырёхугольника можно вычислить через длины его диагоналей $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$ и угол $\varphi$ между ними. Формула площади имеет вид:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$

Поскольку синус любого угла не превосходит единицы, то есть $\sin\varphi \le 1$, мы можем записать следующее неравенство для площади:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi \le \frac{1}{2} d_1 d_2$

Теперь воспользуемся неравенством Птолемея для произвольного четырёхугольника. Оно утверждает, что произведение длин диагоналей не превышает суммы произведений длин противолежащих сторон:

$d_1 d_2 \le ac + bd$

Объединим полученные неравенства. Мы установили, что $S \le \frac{1}{2} d_1 d_2$, и, в свою очередь, $d_1 d_2 \le ac + bd$.Из этого следует:

$S \le \frac{1}{2} d_1 d_2 \le \frac{1}{2} (ac + bd)$

Таким образом, мы доказали, что площадь $S$ произвольного четырёхугольника со сторонами $a, b, c, d$ удовлетворяет неравенству:

$S \le \frac{1}{2} (ac + bd)$

Это неравенство справедливо и для невыпуклых четырёхугольников, так как их площадь, равная разности площадей двух треугольников, не превышает суммы площадей этих треугольников, что возвращает нас к случаю выпуклого четырёхугольника с теми же сторонами.

Равенство в данном неравенстве достигается, если выполняются два условия одновременно:
1. Четырёхугольник является вписанным в окружность (условие равенства в неравенстве Птолемея: $d_1 d_2 = ac + bd$).
2. Его диагонали перпендикулярны (условие равенства $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$: $\sin\varphi = 1$).

Ответ: Неравенство $S \le \frac{1}{2}(ac + bd)$ доказано путём использования формулы площади четырёхугольника через диагонали $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$ и неравенства Птолемея $d_1 d_2 \le ac + bd$.