Номер 1385, страница 360 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 11. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1385, страница 360.

1385 Даны три точки A, B, C и три числа α, β, γ. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых сумма αAM² + βВМ² + γСМ² имеет постоянное значение, если:
а) α + β + γ ≠ 0;
б) α + β + γ = 0.

а) $\alpha + \beta + \gamma \ne 0$

Пусть искомое множество точек $M$ определяется уравнением $\alpha AM^2 + \beta BM^2 + \gamma CM^2 = k$, где $k$ — некоторая константа.

Обозначим сумму коэффициентов $S = \alpha + \beta + \gamma$. По условию этого подпункта, $S \ne 0$. Введем точку $P$ — барицентр (или центр масс) системы точек $A, B, C$ с массами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно. Положение точки $P$ определяется векторным равенством $\alpha \vec{PA} + \beta \vec{PB} + \gamma \vec{PC} = \vec{0}$. Точка $P$ имеет постоянное положение, так как оно зависит только от данных точек $A, B, C$ и чисел $\alpha, \beta, \gamma$.

Воспользуемся обобщенной теоремой Лейбница (формулой для скалярной функции Лежандра), которая связывает данную сумму с расстоянием до барицентра. Для любой точки $M$ справедливо равенство:

$\alpha AM^2 + \beta BM^2 + \gamma CM^2 = (\alpha + \beta + \gamma)PM^2 + (\alpha PA^2 + \beta PB^2 + \gamma PC^2)$

Подставим известные нам значения. Левая часть равна константе $k$. Сумма $\alpha + \beta + \gamma = S$. Выражение $(\alpha PA^2 + \beta PB^2 + \gamma PC^2)$ также является константой, так как точки $A, B, C, P$ и числа $\alpha, \beta, \gamma$ фиксированы. Обозначим эту константу $C_P$.

Получаем уравнение: $k = S \cdot PM^2 + C_P$.

Выразим квадрат расстояния $PM^2$:

$PM^2 = \frac{k - C_P}{S}$

Правая часть этого уравнения — константа. Обозначим ее $R^2$. Уравнение $PM^2 = R^2$ задает множество точек $M$, удаленных от фиксированной точки $P$ на фиксированное расстояние $R = \sqrt{R^2}$. В зависимости от значения константы $k$, величина $R^2$ может быть положительной, нулевой или отрицательной. Соответственно, искомое множество точек является сферой, одной точкой $P$ или пустым множеством. В общем случае это множество является сферой.

Ответ: Множество точек $M$ является сферой (в вырожденных случаях — точкой или пустым множеством), центр которой — барицентр точек $A, B, C$ с массами $\alpha, \beta, \gamma$.

б) $\alpha + \beta + \gamma = 0$

В этом случае подход, использованный в пункте а), неприменим, так как он привел бы к делению на ноль. Используем векторный метод. Пусть $O$ — произвольное начало координат, а $\vec{m}, \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ — радиус-векторы точек $M, A, B, C$ соответственно. Тогда квадрат расстояния $AM^2$ можно записать как $AM^2 = |\vec{m} - \vec{a}|^2 = |\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot\vec{a} + |\vec{a}|^2$.

Запишем исходное условие $\alpha AM^2 + \beta BM^2 + \gamma CM^2 = k$ в векторной форме:

$\alpha (|\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot\vec{a} + |\vec{a}|^2) + \beta (|\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2) + \gamma (|\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2) = k$

Сгруппируем слагаемые:

$(\alpha+\beta+\gamma)|\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot(\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}) + (\alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + \gamma|\vec{c}|^2) = k$

По условию $\alpha+\beta+\gamma=0$, поэтому первое слагаемое $(\alpha+\beta+\gamma)|\vec{m}|^2$ обращается в ноль. Уравнение упрощается:

$-2\vec{m}\cdot(\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}) + (\alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + \gamma|\vec{c}|^2) = k$

Обозначим постоянный вектор $\vec{n} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}$ и постоянную скалярную величину $C_0 = \alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + \gamma|\vec{c}|^2$. Тогда уравнение принимает вид:

$-2\vec{m}\cdot\vec{n} + C_0 = k$

или

$\vec{m}\cdot\vec{n} = \frac{C_0 - k}{2}$

Это уравнение задает плоскость, перпендикулярную вектору $\vec{n}$.

В вырожденном случае, когда $\vec{n}=\vec{0}$ (что возможно, если точки $A, B, C$ коллинеарны и коэффициенты $\alpha, \beta, \gamma$ находятся в определенном соотношении), уравнение превращается в $0 = C_0 - k$. Тогда, если константа $k$ такова, что $k = C_0$, решением является все пространство. Если же $k \ne C_0$, — пустое множество. В общем (невырожденном) случае искомое множество точек является плоскостью.

Ответ: Множество точек $M$ является плоскостью (в вырожденных случаях — всем пространством или пустым множеством), перпендикулярной вектору $\vec{n} = \alpha\vec{OA} + \beta\vec{OB} + \gamma\vec{OC}$, где $O$ — произвольная точка (начало координат).