Номер 1398, страница 362 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 12. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1398, страница 362.

1398 В треугольнике ABC проведены высота АН длиной h, медиана AM длиной l, биссектриса AN. Точка N — середина отрезка МН. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения высот треугольника ABC.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть сторона $BC$ треугольника лежит на оси абсцисс $Ox$, а высота $AH$ — на оси ординат $Oy$. Тогда точка $H$ (основание высоты) будет в начале координат $H(0, 0)$, а вершина $A$ будет иметь координаты $A(0, h)$.

Точки $B$ и $C$ лежат на оси $Ox$. Обозначим их координаты как $B(x_B, 0)$ и $C(x_C, 0)$.Медиана $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой стороны $BC$. Координаты точки $M$ равны $M\left(\frac{x_B+x_C}{2}, 0\right)$.Длина медианы $AM$ равна $l$. Используя формулу расстояния между точками $A(0, h)$ и $M$:$l^2 = AM^2 = \left(\frac{x_B+x_C}{2} - 0\right)^2 + (0-h)^2 = \left(\frac{x_B+x_C}{2}\right)^2 + h^2$.Обозначим координату точки $M$ по оси $x$ как $m_{coord} = \frac{x_B+x_C}{2}$. Тогда $l^2 = m_{coord}^2 + h^2$, откуда $m_{coord}^2 = l^2 - h^2$.

По условию, точка $N$ (основание биссектрисы $AN$) является серединой отрезка $MH$. Так как $H(0,0)$ и $M(m_{coord}, 0)$, то координаты точки $N$ будут $N\left(\frac{m_{coord}}{2}, 0\right)$. То есть, $N\left(\frac{x_B+x_C}{4}, 0\right)$.

Теперь найдем расстояние от вершины $A$ до точки пересечения высот (ортоцентра) треугольника $ABC$. Обозначим ортоцентр буквой $O$.Одна из высот — это $AH$, которая лежит на оси $Oy$ (прямая $x=0$). Следовательно, ортоцентр $O$ также лежит на оси $Oy$, и его координаты $O(0, y_O)$.Найдем $y_O$ как ординату точки пересечения высоты $AH$ и высоты, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$.Найдем уравнение прямой, содержащей высоту из $B$. Эта прямая перпендикулярна прямой $AC$.Координаты вершин: $A(0, h)$, $C(x_C, 0)$.Угловой коэффициент прямой $AC$: $k_{AC} = \frac{h-0}{0-x_C} = -\frac{h}{x_C}$.Угловой коэффициент высоты из $B$ будет $k_B = -\frac{1}{k_{AC}} = \frac{x_C}{h}$.Уравнение прямой, содержащей высоту из $B(x_B, 0)$: $y - 0 = \frac{x_C}{h}(x - x_B)$.Ордината $y_O$ ортоцентра $O$ — это значение $y$ при $x=0$:$y_O = \frac{x_C}{h}(0 - x_B) = -\frac{x_B x_C}{h}$.Таким образом, координаты ортоцентра $O\left(0, -\frac{x_B x_C}{h}\right)$.Расстояние $AO$ равно:$AO = \left|h - y_O\right| = \left|h - \left(-\frac{x_B x_C}{h}\right)\right| = \left|h + \frac{x_B x_C}{h}\right| = \frac{|h^2 + x_B x_C|}{h}$.

Чтобы найти $AO$, нам нужно выразить произведение $x_B x_C$ через $h$ и $l$. Для этого используем тот факт, что $AN$ — биссектриса угла $A$. По свойству биссектрисы треугольника:$\frac{AB}{AC} = \frac{BN}{NC}$.Длины отрезков:$AB = \sqrt{(x_B-0)^2+(0-h)^2} = \sqrt{x_B^2+h^2}$.$AC = \sqrt{(x_C-0)^2+(0-h)^2} = \sqrt{x_C^2+h^2}$.$BN = \left|x_N - x_B\right| = \left|\frac{x_B+x_C}{4} - x_B\right| = \left|\frac{x_C-3x_B}{4}\right|$.$NC = \left|x_C - x_N\right| = \left|x_C - \frac{x_B+x_C}{4}\right| = \left|\frac{3x_C-x_B}{4}\right|$.Подставим эти выражения в пропорцию:$\frac{\sqrt{x_B^2+h^2}}{\sqrt{x_C^2+h^2}} = \frac{|x_C-3x_B|}{|3x_C-x_B|}$.Возведем обе части в квадрат:$\frac{x_B^2+h^2}{x_C^2+h^2} = \frac{(x_C-3x_B)^2}{(3x_C-x_B)^2}$.$(x_B^2+h^2)(3x_C-x_B)^2 = (x_C^2+h^2)(x_C-3x_B)^2$.$(x_B^2+h^2)(9x_C^2 - 6x_B x_C + x_B^2) = (x_C^2+h^2)(x_C^2 - 6x_B x_C + 9x_B^2)$.Раскроем скобки и упростим. После сокращения одинаковых слагаемых ($9x_B^2x_C^2$ и $-6h^2x_Bx_C$) получим:$x_B^4 - 6x_B^3x_C + 9h^2x_C^2 + h^2x_B^2 = x_C^4 - 6x_Bx_C^3 + h^2x_C^2 + 9h^2x_B^2$.Перегруппируем слагаемые:$x_C^4 - x_B^4 - 6x_Bx_C(x_C^2-x_B^2) - 8h^2(x_C^2-x_B^2) = 0$.$(x_C^2-x_B^2)(x_C^2+x_B^2) - 6x_Bx_C(x_C^2-x_B^2) - 8h^2(x_C^2-x_B^2) = 0$.$(x_C^2-x_B^2)(x_C^2+x_B^2 - 6x_Bx_C - 8h^2) = 0$.Если $x_C^2=x_B^2$, то треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB=AC$. В этом случае $H$ и $M$ совпадают, и $h=l$.Рассмотрим общий случай, когда треугольник не является равнобедренным, тогда $x_C^2 \neq x_B^2$. В этом случае мы можем разделить на $(x_C^2-x_B^2)$:$x_C^2+x_B^2 - 6x_Bx_C - 8h^2 = 0$.Выразим $x_B^2+x_C^2$ через $m_{coord}$:$x_B^2+x_C^2 = (x_B+x_C)^2 - 2x_Bx_C = (2m_{coord})^2 - 2x_Bx_C = 4m_{coord}^2 - 2x_Bx_C$.Подставим это в полученное уравнение:$4m_{coord}^2 - 2x_Bx_C - 6x_Bx_C - 8h^2 = 0$.$4m_{coord}^2 - 8x_Bx_C - 8h^2 = 0$.$8x_Bx_C = 4m_{coord}^2 - 8h^2$.$x_Bx_C = \frac{m_{coord}^2}{2} - h^2$.Зная, что $m_{coord}^2 = l^2 - h^2$, получаем:$x_Bx_C = \frac{l^2-h^2}{2} - h^2 = \frac{l^2-h^2-2h^2}{2} = \frac{l^2-3h^2}{2}$.

Теперь подставим найденное выражение для $x_B x_C$ в формулу для расстояния $AO$:$AO = \frac{|h^2 + x_B x_C|}{h} = \frac{\left|h^2 + \frac{l^2-3h^2}{2}\right|}{h} = \frac{\left|\frac{2h^2+l^2-3h^2}{2}\right|}{h} = \frac{\left|\frac{l^2-h^2}{2}\right|}{h}$.Поскольку в прямоугольном треугольнике $AHM$ ($AH \perp HM$) медиана $AM=l$ является гипотенузой, а высота $AH=h$ — катетом, то $l \ge h$, и $l^2-h^2 \ge 0$.Следовательно, модуль можно опустить:$AO = \frac{l^2-h^2}{2h}$.

Ответ: $\frac{l^2-h^2}{2h}$