Страница 362 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1398 В треугольнике ABC проведены высота АН длиной h, медиана AM длиной l, биссектриса AN. Точка N — середина отрезка МН. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения высот треугольника ABC.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть сторона $BC$ треугольника лежит на оси абсцисс $Ox$, а высота $AH$ — на оси ординат $Oy$. Тогда точка $H$ (основание высоты) будет в начале координат $H(0, 0)$, а вершина $A$ будет иметь координаты $A(0, h)$.

Точки $B$ и $C$ лежат на оси $Ox$. Обозначим их координаты как $B(x_B, 0)$ и $C(x_C, 0)$.Медиана $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой стороны $BC$. Координаты точки $M$ равны $M\left(\frac{x_B+x_C}{2}, 0\right)$.Длина медианы $AM$ равна $l$. Используя формулу расстояния между точками $A(0, h)$ и $M$:$l^2 = AM^2 = \left(\frac{x_B+x_C}{2} - 0\right)^2 + (0-h)^2 = \left(\frac{x_B+x_C}{2}\right)^2 + h^2$.Обозначим координату точки $M$ по оси $x$ как $m_{coord} = \frac{x_B+x_C}{2}$. Тогда $l^2 = m_{coord}^2 + h^2$, откуда $m_{coord}^2 = l^2 - h^2$.

По условию, точка $N$ (основание биссектрисы $AN$) является серединой отрезка $MH$. Так как $H(0,0)$ и $M(m_{coord}, 0)$, то координаты точки $N$ будут $N\left(\frac{m_{coord}}{2}, 0\right)$. То есть, $N\left(\frac{x_B+x_C}{4}, 0\right)$.

Теперь найдем расстояние от вершины $A$ до точки пересечения высот (ортоцентра) треугольника $ABC$. Обозначим ортоцентр буквой $O$.Одна из высот — это $AH$, которая лежит на оси $Oy$ (прямая $x=0$). Следовательно, ортоцентр $O$ также лежит на оси $Oy$, и его координаты $O(0, y_O)$.Найдем $y_O$ как ординату точки пересечения высоты $AH$ и высоты, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$.Найдем уравнение прямой, содержащей высоту из $B$. Эта прямая перпендикулярна прямой $AC$.Координаты вершин: $A(0, h)$, $C(x_C, 0)$.Угловой коэффициент прямой $AC$: $k_{AC} = \frac{h-0}{0-x_C} = -\frac{h}{x_C}$.Угловой коэффициент высоты из $B$ будет $k_B = -\frac{1}{k_{AC}} = \frac{x_C}{h}$.Уравнение прямой, содержащей высоту из $B(x_B, 0)$: $y - 0 = \frac{x_C}{h}(x - x_B)$.Ордината $y_O$ ортоцентра $O$ — это значение $y$ при $x=0$:$y_O = \frac{x_C}{h}(0 - x_B) = -\frac{x_B x_C}{h}$.Таким образом, координаты ортоцентра $O\left(0, -\frac{x_B x_C}{h}\right)$.Расстояние $AO$ равно:$AO = \left|h - y_O\right| = \left|h - \left(-\frac{x_B x_C}{h}\right)\right| = \left|h + \frac{x_B x_C}{h}\right| = \frac{|h^2 + x_B x_C|}{h}$.

Чтобы найти $AO$, нам нужно выразить произведение $x_B x_C$ через $h$ и $l$. Для этого используем тот факт, что $AN$ — биссектриса угла $A$. По свойству биссектрисы треугольника:$\frac{AB}{AC} = \frac{BN}{NC}$.Длины отрезков:$AB = \sqrt{(x_B-0)^2+(0-h)^2} = \sqrt{x_B^2+h^2}$.$AC = \sqrt{(x_C-0)^2+(0-h)^2} = \sqrt{x_C^2+h^2}$.$BN = \left|x_N - x_B\right| = \left|\frac{x_B+x_C}{4} - x_B\right| = \left|\frac{x_C-3x_B}{4}\right|$.$NC = \left|x_C - x_N\right| = \left|x_C - \frac{x_B+x_C}{4}\right| = \left|\frac{3x_C-x_B}{4}\right|$.Подставим эти выражения в пропорцию:$\frac{\sqrt{x_B^2+h^2}}{\sqrt{x_C^2+h^2}} = \frac{|x_C-3x_B|}{|3x_C-x_B|}$.Возведем обе части в квадрат:$\frac{x_B^2+h^2}{x_C^2+h^2} = \frac{(x_C-3x_B)^2}{(3x_C-x_B)^2}$.$(x_B^2+h^2)(3x_C-x_B)^2 = (x_C^2+h^2)(x_C-3x_B)^2$.$(x_B^2+h^2)(9x_C^2 - 6x_B x_C + x_B^2) = (x_C^2+h^2)(x_C^2 - 6x_B x_C + 9x_B^2)$.Раскроем скобки и упростим. После сокращения одинаковых слагаемых ($9x_B^2x_C^2$ и $-6h^2x_Bx_C$) получим:$x_B^4 - 6x_B^3x_C + 9h^2x_C^2 + h^2x_B^2 = x_C^4 - 6x_Bx_C^3 + h^2x_C^2 + 9h^2x_B^2$.Перегруппируем слагаемые:$x_C^4 - x_B^4 - 6x_Bx_C(x_C^2-x_B^2) - 8h^2(x_C^2-x_B^2) = 0$.$(x_C^2-x_B^2)(x_C^2+x_B^2) - 6x_Bx_C(x_C^2-x_B^2) - 8h^2(x_C^2-x_B^2) = 0$.$(x_C^2-x_B^2)(x_C^2+x_B^2 - 6x_Bx_C - 8h^2) = 0$.Если $x_C^2=x_B^2$, то треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB=AC$. В этом случае $H$ и $M$ совпадают, и $h=l$.Рассмотрим общий случай, когда треугольник не является равнобедренным, тогда $x_C^2 \neq x_B^2$. В этом случае мы можем разделить на $(x_C^2-x_B^2)$:$x_C^2+x_B^2 - 6x_Bx_C - 8h^2 = 0$.Выразим $x_B^2+x_C^2$ через $m_{coord}$:$x_B^2+x_C^2 = (x_B+x_C)^2 - 2x_Bx_C = (2m_{coord})^2 - 2x_Bx_C = 4m_{coord}^2 - 2x_Bx_C$.Подставим это в полученное уравнение:$4m_{coord}^2 - 2x_Bx_C - 6x_Bx_C - 8h^2 = 0$.$4m_{coord}^2 - 8x_Bx_C - 8h^2 = 0$.$8x_Bx_C = 4m_{coord}^2 - 8h^2$.$x_Bx_C = \frac{m_{coord}^2}{2} - h^2$.Зная, что $m_{coord}^2 = l^2 - h^2$, получаем:$x_Bx_C = \frac{l^2-h^2}{2} - h^2 = \frac{l^2-h^2-2h^2}{2} = \frac{l^2-3h^2}{2}$.

Теперь подставим найденное выражение для $x_B x_C$ в формулу для расстояния $AO$:$AO = \frac{|h^2 + x_B x_C|}{h} = \frac{\left|h^2 + \frac{l^2-3h^2}{2}\right|}{h} = \frac{\left|\frac{2h^2+l^2-3h^2}{2}\right|}{h} = \frac{\left|\frac{l^2-h^2}{2}\right|}{h}$.Поскольку в прямоугольном треугольнике $AHM$ ($AH \perp HM$) медиана $AM=l$ является гипотенузой, а высота $AH=h$ — катетом, то $l \ge h$, и $l^2-h^2 \ge 0$.Следовательно, модуль можно опустить:$AO = \frac{l^2-h^2}{2h}$.

Ответ: $\frac{l^2-h^2}{2h}$

1399 На рисунке 422 изображён правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса R, AC — биссектриса угла ОAB. Докажите, что:

а) △ABС ∾ △ОAB;

б) $AB=AC=ОС=\frac{\sqrt{5-1}}{2}R.$

а) Докажите, что: $\triangle ABC \sim \triangle OAB$

1. Так как в окружность радиуса $R$ вписан правильный десятиугольник, то центральный угол, опирающийся на одну его сторону (в данном случае $AB$), равен $\angle AOB = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ$.

2. Треугольник $OAB$ является равнобедренным, поскольку его стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности ($OA = OB = R$). Следовательно, углы при основании $AB$ равны: $\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2} = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ$.

3. По условию задачи, $AC$ — биссектриса угла $OAB$. Это означает, что она делит угол $OAB$ на два равных угла: $\angle OAC = \angle CAB = \frac{\angle OAB}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$.

4. Теперь рассмотрим углы треугольника $ABC$:

• $\angle CAB = 36^\circ$ (как мы только что нашли).
• $\angle ABC$ совпадает с углом $OBA$, поэтому $\angle ABC = 72^\circ$.
• Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle BCA = 180^\circ - (\angle CAB + \angle ABC) = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

5. Сравним углы треугольников $ABC$ и $OAB$:

• Углы $\triangle ABC$: $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$.
• Углы $\triangle OAB$: $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$.

Поскольку углы одного треугольника соответственно равны углам другого ($\angle CAB = \angle AOB = 36^\circ$ и $\angle ABC = \angle OAB = 72^\circ$), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Ответ: Таким образом, подобие $\triangle ABC \sim \triangle OAB$ доказано.

б) Докажите, что: $AB = AC = OC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}R$

1. В треугольнике $ABC$ мы нашли, что $\angle ABC = 72^\circ$ и $\angle BCA = 72^\circ$. Так как два угла равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$, откуда следует, что $AB = AC$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $AOC$. Угол $\angle OAC = 36^\circ$ (так как $AC$ — биссектриса). Точка $C$ лежит на отрезке $OB$, поэтому угол $\angle AOC$ совпадает с углом $\angle AOB$, то есть $\angle AOC = 36^\circ$. Поскольку в треугольнике $AOC$ два угла равны ($\angle OAC = \angle AOC = 36^\circ$), он является равнобедренным с основанием $OA$. Следовательно, $AC = OC$.

3. Из равенств, полученных в пунктах 1 и 2, следует, что $AB = AC = OC$.

4. Воспользуемся подобием треугольников $\triangle ABC \sim \triangle OAB$, доказанным в части а). Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$$ \frac{AB}{OA} = \frac{BC}{AB} $$

5. Обозначим длину стороны $AB$ через $x$. Тогда $AB = AC = OC = x$. Радиус $OA = R$. Длина отрезка $BC$ равна разности длин отрезков $OB$ и $OC$, то есть $BC = OB - OC = R - x$.

6. Подставим эти обозначения в пропорцию:

$$ \frac{x}{R} = \frac{R-x}{x} $$

7. Решим это уравнение относительно $x$. Применяя перекрестное умножение, получаем:

$x^2 = R(R-x)$
$x^2 = R^2 - Rx$
$x^2 + Rx - R^2 = 0$

8. Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни по формуле:

$x = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-R^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 + 4R^2}}{2} = \frac{-R \pm \sqrt{5R^2}}{2} = \frac{R(-1 \pm \sqrt{5})}{2}$

9. Так как $x$ представляет собой длину отрезка, его значение должно быть положительным. Поэтому выбираем корень со знаком "плюс":

$$ x = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2} $$

Ответ: Мы доказали, что $AB = AC = OC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}R$.

1400 Докажите, что отрезок АK, изображённый на рисунке 423, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О.

Для доказательства утверждения найдем длину отрезка AK, выраженную через радиус R большой окружности, а затем сравним ее с известной формулой для длины стороны правильного десятиугольника, вписанного в ту же окружность.

1. Нахождение длины отрезка AK.

Пусть радиус большой окружности с центром в точке O равен $R$. Из рисунка видно, что $OA$ и $OB$ — радиусы, причем они перпендикулярны друг другу. Таким образом, $OA = OB = R$ и $\angle AOB = 90^\circ$.

Точка C является серединой радиуса OB, следовательно, $OC = \frac{1}{2}OB = \frac{R}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOC$. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы AC:

$AC^2 = OA^2 + OC^2 = R^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 = R^2 + \frac{R^2}{4} = \frac{5R^2}{4}$

$AC = \sqrt{\frac{5R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{5}}{2}$

Меньшая окружность построена с центром в точке C и проходит через точку B. Следовательно, ее радиус равен длине отрезка CB. Так как C — середина OB, то $CB = OC = \frac{R}{2}$.

Точка K, согласно построению, лежит на отрезке AC и на меньшей окружности. Это означает, что расстояние от центра C до точки K равно радиусу этой окружности, то есть $CK = CB = \frac{R}{2}$.

Теперь можем вычислить длину отрезка AK:

$AK = AC - CK = \frac{R\sqrt{5}}{2} - \frac{R}{2} = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$

2. Нахождение длины стороны правильного десятиугольника.

Длина стороны $a_n$ правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, вычисляется по формуле $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Для правильного десятиугольника (n=10), сторона $a_{10}$ будет равна:

$a_{10} = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{10}\right) = 2R \sin(18^\circ)$

Значение $\sin(18^\circ)$ является известной константой: $\sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

Подставим это значение в формулу для стороны десятиугольника:

$a_{10} = 2R \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$

3. Заключение.

Сравнивая результаты, полученные в пунктах 1 и 2, мы видим, что выражения для длины отрезка AK и длины стороны правильного вписанного десятиугольника $a_{10}$ полностью совпадают:

$AK = a_{10} = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$

Это доказывает, что отрезок AK, изображённый на рисунке, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром O. Что и требовалось доказать.

Ответ: Длина отрезка AK, найденная из геометрического построения, равна $AK = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$. Длина стороны правильного десятиугольника, вписанного в ту же окружность радиуса R, также равна $a_{10} = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$. Поскольку эти величины равны, утверждение доказано.

1401 Около правильного пятиугольника А₁A₂А₃А₄А₅ описана окружность с центром О. Вершинами треугольника ABC являются середины сторон A₁A₂, A₂A₃ и A₃A₄ пятиугольника. Докажите, что центр О данной окружности и центр О₁ окружности, вписанной в треугольник ABC, симметричны относительно прямой AC.

Для доказательства того, что центр $O$ данной окружности и центр $O_1$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$, симметричны относительно прямой $AC$, необходимо показать, что прямая $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $OO_1$. Это означает, что должны выполняться два условия:

1. Отрезок $OO_1$ перпендикулярен прямой $AC$.
2. Середина отрезка $OO_1$ лежит на прямой $AC$.

Доказательство

1. Анализ свойств треугольника $ABC$ и положения точки $O$.
Пусть $A_1A_2A_3A_4A_5$ — правильный пятиугольник, вписанный в окружность с центром $O$. Вершины $A, B, C$ треугольника $ABC$ являются серединами сторон $A_1A_2, A_2A_3$ и $A_3A_4$ соответственно.

Так как $A, B, C$ — середины сторон правильного пятиугольника, то отрезки $OA, OB, OC$ являются апофемами этого пятиугольника (перпендикулярами, опущенными из центра на стороны). Все апофемы правильного многоугольника равны. Обозначим их длину через $r$. Таким образом, $OA = OB = OC = r$.

Поскольку точка $O$ равноудалена от вершин $A, B, C$ треугольника $ABC$, она является центром окружности, описанной около этого треугольника. Радиус этой окружности $R_{ABC} = r$.

Найдем углы в треугольнике $OBC$. Центральный угол, соответствующий стороне правильного пятиугольника, равен $360^\circ/5 = 72^\circ$. То есть $\angle A_1OA_2 = \angle A_2OA_3 = \angle A_3OA_4 = 72^\circ$.
Поскольку $OA$ — апофема к стороне $A_1A_2$, то $OA$ является и биссектрисой угла $\angle A_1OA_2$. Аналогично для $OB$ и $OC$.
Следовательно, $\angle AOB = \angle AOA_2 + \angle A_2OB = \frac{1}{2}\angle A_1OA_2 + \frac{1}{2}\angle A_2OA_3 = \frac{72^\circ}{2} + \frac{72^\circ}{2} = 72^\circ$.
Аналогично, $\angle BOC = \angle BOA_3 + \angle A_3OC = \frac{1}{2}\angle A_2OA_3 + \frac{1}{2}\angle A_3OA_4 = \frac{72^\circ}{2} + \frac{72^\circ}{2} = 72^\circ$.

В треугольниках $AOB$ и $BOC$:

• $OA = OB = OC = r$
• $\angle AOB = \angle BOC = 72^\circ$

Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle BOC$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что $AB = BC$. Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$.

2. Доказательство перпендикулярности $OO_1 \perp AC$.
В равнобедренном треугольнике $ABC$ осью симметрии является прямая, содержащая медиану, биссектрису и высоту, проведенные из вершины $B$ к основанию $AC$. Пусть $M$ — середина $AC$. Тогда прямая $BM$ является осью симметрии треугольника $ABC$ и $BM \perp AC$.

Центр вписанной окружности $O_1$ лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, биссектриса угла $B$ совпадает с медианой $BM$. Следовательно, точка $O_1$ лежит на прямой $BM$.

Центр описанной окружности $O$ равнобедренного треугольника также лежит на его оси симметрии. Следовательно, точка $O$ лежит на прямой $BM$.

Поскольку обе точки $O$ и $O_1$ лежат на прямой $BM$, а прямая $BM$ перпендикулярна прямой $AC$, то и отрезок $OO_1$ перпендикулярен прямой $AC$. Первое условие доказано.

3. Доказательство того, что середина $OO_1$ лежит на $AC$.
Пусть $M$ — точка пересечения $OO_1$ (то есть прямой $BM$) и $AC$. Нам нужно доказать, что $M$ является серединой отрезка $OO_1$, то есть $OM = O_1M$.

Найдем расстояние $OM$. В равнобедренном треугольнике $AOC$ ($OA = OC = r$), $OM$ является высотой, а значит, и биссектрисой угла $AOC$.
$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 72^\circ + 72^\circ = 144^\circ$.
Тогда $\angle AOM = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ$.
Из прямоугольного треугольника $OMA$ находим: $OM = OA \cos(\angle AOM) = r \cos(72^\circ)$.

Теперь найдем расстояние $O_1M$. Точка $O_1$ — центр вписанной окружности $\triangle ABC$. Расстояние от $O_1$ до любой из сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности $r_{in}$. Прямая $BM$ перпендикулярна $AC$ в точке $M$. Так как $O_1$ лежит на $BM$, то $O_1M$ — это перпендикуляр от $O_1$ к $AC$. Следовательно, $O_1M = r_{in}$.

Найдем $r_{in}$ по формуле $r_{in} = 4R_{ABC} \sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}$. Сначала найдем углы треугольника $ABC$.
В равнобедренном $\triangle AOB$ углы при основании равны $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 72^\circ)/2 = 54^\circ$.
В равнобедренном $\triangle AOC$ углы при основании равны $\angle OAC = \angle OCA = (180^\circ - 144^\circ)/2 = 18^\circ$.
Угол $A$ треугольника $ABC$ равен $\angle BAC = \angle OAB - \angle OAC = 54^\circ - 18^\circ = 36^\circ$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $\angle C = \angle A = 36^\circ$. Тогда угол $B = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 108^\circ$.

Радиус описанной окружности $\triangle ABC$ равен $R_{ABC} = OA = r$.
Подставляем значения в формулу для $r_{in}$:
$r_{in} = 4r \sin(\frac{36^\circ}{2}) \sin(\frac{108^\circ}{2}) \sin(\frac{36^\circ}{2}) = 4r \sin(18^\circ) \sin(54^\circ) \sin(18^\circ) = 4r \sin^2(18^\circ) \sin(54^\circ)$.
Используя формулу приведения $\sin(54^\circ) = \cos(90^\circ - 54^\circ) = \cos(36^\circ)$, получаем:
$r_{in} = 4r \sin^2(18^\circ) \cos(36^\circ)$.

Теперь сравним $OM$ и $O_1M$. Нам нужно доказать, что $r \cos(72^\circ) = 4r \sin^2(18^\circ) \cos(36^\circ)$, что эквивалентно проверке тождества $\cos(72^\circ) = 4\sin^2(18^\circ) \cos(36^\circ)$.
Используем известные значения тригонометрических функций "золотого сечения": $\cos(72^\circ) = \sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ и $\cos(36^\circ) = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
Проверим правую часть равенства:
$4\sin^2(18^\circ) \cos(36^\circ) = 4 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right) = 4 \frac{(\sqrt{5}-1)^2}{16} \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{(\sqrt{5}-1)}{4} \cdot \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \cdot \frac{5-1}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
Левая часть: $\cos(72^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
Равенство выполняется, следовательно $OM = O_1M = r_{in}$.

Так как $\angle ABC = 108^\circ > 90^\circ$, треугольник $ABC$ тупоугольный. Его центр описанной окружности $O$ лежит вне треугольника, а центр вписанной окружности $O_1$ всегда лежит внутри. Точки $O$ и $O_1$ лежат на прямой $BM$ по разные стороны от прямой $AC$.

Таким образом, мы доказали, что прямая $AC$ перпендикулярна отрезку $OO_1$ и проходит через его середину $M$. Это по определению означает, что точки $O$ и $O_1$ симметричны относительно прямой $AC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1402* В данную окружность впишите правильный десятиугольник.

Для того чтобы вписать в данную окружность правильный десятиугольник, необходимо построить его сторону с помощью циркуля и линейки. Сторона правильного вписанного десятиугольника, $a_{10}$, связана с радиусом окружности R через так называемое "золотое сечение". Длина стороны $a_{10}$ равна большей части радиуса, разделенного в крайнем и среднем отношении. Математически это выражается формулой: $a_{10} = R \frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Таким образом, задача сводится к построению отрезка этой длины, а затем к последовательному откладыванию этого отрезка в качестве хорды по окружности 10 раз.

Построение

1. Пусть дана окружность с центром в точке O и радиусом R. Выберем на ней произвольную точку A, которая станет первой вершиной десятиугольника.
2. Проведем радиус OA.
3. Построим радиус OB, перпендикулярный радиусу OA. Для этого в точке O возведем перпендикуляр к прямой OA и найдем его точку пересечения с окружностью (точка B).
4. Найдем середину M радиуса OB. Это делается стандартным построением деления отрезка пополам с помощью циркуля и линейки. Длина отрезка OM равна $R/2$.
5. Соединим точки A и M отрезком. В прямоугольном треугольнике OMA по теореме Пифагора длина гипотенузы MA составляет $MA = \sqrt{OA^2 + OM^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{R}{2})^2} = \frac{R\sqrt{5}}{2}$.
6. С центром в точке M проведем дугу радиусом OM ($R/2$) так, чтобы она пересекла отрезок MA. Обозначим точку пересечения P.
7. Отрезок AP будет иметь искомую длину стороны правильного десятиугольника: $AP = MA - MP = MA - OM = \frac{R\sqrt{5}}{2} - \frac{R}{2} = R\frac{\sqrt{5}-1}{2} = a_{10}$.
8. Измерим циркулем длину отрезка AP.
9. Начиная от точки A, последовательно отложим на окружности 10 хорд, равных по длине AP. Для этого установим ножку циркуля в точку A и сделаем на окружности засечку, получив вторую вершину $A_2$. Затем переставим ножку циркуля в $A_2$ и сделаем следующую засечку для $A_3$, и так далее. Десятая засечка должна совпасть с исходной точкой A.
10. Соединим последовательно полученные вершины $A, A_2, A_3, \dots, A_{10}$ отрезками.

Полученная фигура $A A_2 A_3 \dots A_{10}$ является искомым правильным десятиугольником, вписанным в данную окружность.

Ответ: Правильный десятиугольник вписывается в окружность путем выполнения вышеописанного алгоритма построения. Ключевым этапом является построение стороны десятиугольника, длина которой равна большей части радиуса, разделенного в золотом сечении ($a_{10} = R\frac{\sqrt{5}-1}{2}$), с последующим откладыванием этой длины десять раз по окружности.

1403 В данную окружность впишите правильный пятиугольник.

Для построения правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность, с помощью циркуля и линейки без делений, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Пусть дана окружность с центром в точке O. Проведем через центр O два взаимно перпендикулярных диаметра. Обозначим одну из точек пересечения с окружностью как A. Другой диаметр пусть пересекает окружность в точках B и C.

2. Найдем середину одного из радиусов, не содержащего точку A, например, радиуса OB. Обозначим эту середину как точку M. Для нахождения середины отрезка строим его серединный перпендикуляр.

3. Установим ножку циркуля в точку M, а грифель — в точку A. Проведем дугу окружности с центром M и радиусом MA до пересечения с диаметром BC в точке D, которая лежит между O и C.

4. Длина отрезка AD является стороной искомого правильного пятиугольника. Математическое обоснование: пусть радиус исходной окружности равен $R$. Тогда $OA=R$, $OB=R$, и $OM = OB/2 = R/2$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle OMA$ гипотенуза $MA$ равна: $MA = \sqrt{OA^2 + OM^2} = \sqrt{R^2 + (R/2)^2} = \sqrt{R^2 + R^2/4} = \sqrt{\frac{5R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{5}}{2}$.

   По построению, радиус дуги $MD$ равен $MA$, значит $MD = \frac{R\sqrt{5}}{2}$. Длина отрезка $OD$ равна $MD - OM = \frac{R\sqrt{5}}{2} - \frac{R}{2} = R\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle ODA$ по теореме Пифагора найдем длину стороны $AD$: $AD^2 = OA^2 + OD^2 = R^2 + \left(R\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2 = R^2\left(1 + \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{4}\right) = R^2\left(\frac{4+6-2\sqrt{5}}{4}\right) = R^2\frac{10-2\sqrt{5}}{4}$. Эта величина в точности равна квадрату стороны $a_5$ правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, которая равна $a_5^2 = R^2\frac{10-2\sqrt{5}}{4}$.

5. Установим раствор циркуля равным длине отрезка $AD$. Начиная с точки A, последовательно отложим на окружности хорды, равные $AD$. Получим точки $P_1, P_2, P_3, P_4$. Исходная точка A будет пятой вершиной ($P_5$).

6. Соединив последовательно точки $A, P_1, P_2, P_3, P_4$ отрезками, получим правильный пятиугольник $AP_1P_2P_3P_4$, вписанный в данную окружность.

Ответ: Выполнив описанную последовательность шагов с помощью циркуля и линейки, мы построим искомый правильный пятиугольник, все вершины которого лежат на данной окружности, а все стороны и углы равны между собой. Длина стороны построенного пятиугольника равна отрезку $AD$, полученному в ходе построения.

1404 В данную окружность впишите пятиконечную звезду.

Для того чтобы вписать пятиконечную звезду в данную окружность, необходимо сначала построить вершины правильного пятиугольника, вписанного в эту же окружность, а затем соединить их через одну. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

Вот пошаговый алгоритм построения:

1. Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Проведем через центр $O$ два взаимно перпендикулярных диаметра. Пусть один из них будет вертикальным, а другой — горизонтальным.
2. Обозначим верхнюю точку пересечения вертикального диаметра с окружностью как $P_1$, а правую точку пересечения горизонтального диаметра с окружностью как $A$.
3. Найдем середину радиуса $OA$. Обозначим эту точку как $M$. (Это делается построением серединного перпендикуляра к отрезку $OA$).
4. Установим ножку циркуля в точку $M$ и проведем дугу радиусом, равным расстоянию от $M$ до $P_1$. Эта дуга пересечет горизонтальный диаметр в точке $N$ (точка $N$ будет лежать на радиусе, противоположном $OA$).
5. Длина отрезка $P_1N$ равна длине стороны правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность. Установим раствор циркуля равным этой длине.
6. Начиная от точки $P_1$, последовательно отложим на окружности пять хорд длиной $P_1N$. Для этого ставим ножку циркуля в $P_1$ и делаем засечку на окружности, получая вершину $P_2$. Затем ставим ножку в $P_2$ и делаем засечку, получая $P_3$, и так далее. В результате мы получим пять вершин: $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$.
7. Чтобы получить пятиконечную звезду (пентаграмму), соединим полученные вершины отрезками через одну: $P_1$ с $P_3$, $P_3$ с $P_5$, $P_5$ с $P_2$, $P_2$ с $P_4$, и, наконец, $P_4$ с $P_1$.

Полученная в результате этих построений фигура и есть пятиконечная звезда, вписанная в данную окружность.

Ответ:

Чтобы вписать пятиконечную звезду в окружность, следует, используя циркуль и линейку, построить вершины вписанного правильного пятиугольника согласно приведенному выше алгоритму, а затем соединить эти вершины через одну.

1405 Пусть M — произвольная точка, лежащая внутри правильного n-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведённых из точки M к прямым, содержащим стороны n-угольника, равна nr, где r — радиус вписанной окружности.

Пусть дан правильный $n$-угольник, длина стороны которого равна $a$. Пусть $M$ — произвольная точка, расположенная внутри этого многоугольника. Обозначим через $h_1, h_2, \dots, h_n$ длины перпендикуляров, опущенных из точки $M$ на прямые, содержащие стороны $n$-угольника.

Доказательство основано на вычислении площади $S$ данного $n$-угольника двумя различными способами.

Способ 1. Соединим точку $M$ с каждой из $n$ вершин многоугольника. Это разбивает $n$-угольник на $n$ треугольников. Для каждого из этих треугольников ($i=1, 2, \dots, n$) одна из сторон $n$-угольника служит основанием (длиной $a$), а перпендикуляр $h_i$, опущенный из точки $M$ на эту сторону, является его высотой.

Площадь $i$-го треугольника равна $S_i = \frac{1}{2} a h_i$.

Площадь всего $n$-угольника $S$ равна сумме площадей этих $n$ треугольников:$S = S_1 + S_2 + \dots + S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} a h_i = \frac{a}{2} (h_1 + h_2 + \dots + h_n) = \frac{a}{2} \sum_{i=1}^{n} h_i$.

Способ 2. Площадь правильного $n$-угольника можно также вычислить через его периметр $P$ и радиус вписанной окружности $r$ (апофему). Периметр правильного $n$-угольника со стороной $a$ равен $P = na$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:$S = \frac{1}{2} P \cdot r = \frac{1}{2} (na) r = \frac{nar}{2}$.

Теперь приравняем два полученных выражения для площади $S$:$\frac{a}{2} \sum_{i=1}^{n} h_i = \frac{nar}{2}$.

Так как длина стороны $a$ не может быть равна нулю ($a > 0$), мы можем умножить обе части равенства на $\frac{2}{a}$, чтобы упростить его:$\sum_{i=1}^{n} h_i = nr$.

Таким образом, доказано, что сумма перпендикуляров, проведённых из произвольной точки внутри правильного $n$-угольника к прямым, содержащим его стороны, постоянна и равна $nr$.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма перпендикуляров равна $nr$.

1406 Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.

1. Нахождение углов треугольника

Пусть углы треугольника, которые мы обозначим как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=2$. Можно записать углы как $x$, $2x$ и $4x$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$ или $\pi$ радиан. Составим уравнение: $x + 2x + 4x = \pi$ $7x = \pi$ $x = \frac{\pi}{7}$ Таким образом, углы нашего треугольника равны $\alpha = \frac{\pi}{7}$, $\beta = \frac{2\pi}{7}$ и $\gamma = \frac{4\pi}{7}$.

2. Расположение вершин треугольника на комплексной плоскости

Рассмотрим описанную около данного треугольника $ABC$ окружность. Поместим ее центр $O$ в начало комплексной плоскости, а радиус окружности примем за $R$. Вершины правильного семиугольника, вписанного в эту окружность, можно представить в виде комплексных чисел $P_k = R e^{i \frac{2\pi k}{7}}$ для $k = 0, 1, \dots, 6$.

Центральные углы, стягиваемые сторонами треугольника, равны удвоенным противолежащим углам: $2\alpha = \frac{2\pi}{7}$, $2\beta = \frac{4\pi}{7}$ и $2\gamma = \frac{8\pi}{7}$. Сумма этих углов равна $\frac{14\pi}{7} = 2\pi$, что соответствует полной окружности.

Это означает, что вершины нашего треугольника $A, B, C$ можно совместить с некоторыми вершинами правильного семиугольника $P_k$. Расположим вершины $A, B, C$ так, чтобы соответствующие центральные углы совпадали с вычисленными. Пусть вершина $A$ (с углом $\alpha = \pi/7$) соответствует точке $P_0$. Сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, должна стягивать дугу $2\alpha = 2\pi/7$. Сторона $AC$ (напротив угла $B=\beta$) стягивает дугу $2\beta=4\pi/7$. Сторона $AB$ (напротив угла $C=\gamma$) стягивает дугу $2\gamma=8\pi/7$.

Пусть в порядке обхода против часовой стрелки вершины треугольника $A, B, C$ соответствуют точкам $P_0, P_4, P_5$.

• Дуга $BC$ (от $P_4$ до $P_5$) имеет угловую меру $\frac{2\pi}{7}$. Угол при вершине $A$, опирающийся на эту дугу, равен $\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{7} = \frac{\pi}{7} = \alpha$.
• Дуга $AC$ (от $P_5$ до $P_0=P_7$) имеет угловую меру $2 \cdot \frac{2\pi}{7} = \frac{4\pi}{7}$. Угол при вершине $B$, опирающийся на эту дугу, равен $\frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi}{7} = \frac{2\pi}{7} = \beta$.
• Дуга $AB$ (от $P_0$ до $P_4$) имеет угловую меру $4 \cdot \frac{2\pi}{7} = \frac{8\pi}{7}$. Угол при вершине $C$, опирающийся на эту дугу, равен $\frac{1}{2} \cdot \frac{8\pi}{7} = \frac{4\pi}{7} = \gamma$.

Таким образом, мы можем отождествить вершины треугольника с комплексными числами $a = P_0$, $b = P_4$, $c = P_5$.

3. Определение положения шести точек на окружности девяти точек

Известно, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности, которая называется окружностью девяти точек (или окружностью Эйлера). Центр этой окружности $N$ является серединой отрезка, соединяющего центр описанной окружности $O$ и ортоцентр $H$. В нашей системе координат $O$ — это начало, а ортоцентр $H$ имеет комплексную координату $h = a+b+c$. Тогда центр окружности девяти точек $N$ имеет координату $n = \frac{a+b+c}{2}$. Радиус окружности девяти точек $R_9$ равен $R/2$.

Найдем положение шести заданных точек (середины сторон $A_1, B_1, C_1$ и основания высот $H_a, H_b, H_c$) относительно центра $N$.

Для середин сторон (где $A_1$ — середина $BC$, $B_1$ — $AC$, $C_1$ — $AB$) векторы, проведенные из центра $N$, равны:

• $\vec{NA_1} = \frac{b+c}{2} - n = \frac{b+c}{2} - \frac{a+b+c}{2} = -\frac{a}{2} = -\frac{P_0}{2}$
• $\vec{NB_1} = \frac{a+c}{2} - n = -\frac{b}{2} = -\frac{P_4}{2}$
• $\vec{NC_1} = \frac{a+b}{2} - n = -\frac{c}{2} = -\frac{P_5}{2}$

Для оснований высот, опущенных из вершин $A, B, C$ на противолежащие стороны, векторы из центра $N$ вычисляются по формулам:

• $\vec{NH_a} = -\frac{bc}{2a} = -\frac{P_4 P_5}{2 P_0} = -\frac{P_{4+5}}{2 P_0} = -\frac{P_9}{2 P_0} = -\frac{P_2}{2 P_0} = -\frac{P_{2-0}}{2} = -\frac{P_2}{2}$
• $\vec{NH_b} = -\frac{ac}{2b} = -\frac{P_0 P_5}{2 P_4} = -\frac{P_5}{2 P_4} = -\frac{P_{5-4}}{2} = -\frac{P_1}{2}$
• $\vec{NH_c} = -\frac{ab}{2c} = -\frac{P_0 P_4}{2 P_5} = -\frac{P_4}{2 P_5} = -\frac{P_{4-5}}{2} = -\frac{P_{-1}}{2} = -\frac{P_6}{2}$

4. Доказательство

Итак, шесть заданных точек соответствуют на окружности девяти точек положениям, которые задаются векторами из ее центра $N$: $-\frac{P_0}{2}, -\frac{P_1}{2}, -\frac{P_2}{2}, -\frac{P_4}{2}, -\frac{P_5}{2}, -\frac{P_6}{2}$.

Рассмотрим теперь множество из семи точек $\{V_k\}_{k=0}^6$, положения которых на комплексной плоскости определяются векторами $v_k = N - \frac{P_k}{2}$ для $k = 0, 1, \dots, 6$.

Все эти семь точек лежат на окружности с центром в $N$ и радиусом $R/2$, так как расстояние от $N$ до каждой точки $V_k$ равно $|(N - \frac{P_k}{2}) - N| = |-\frac{P_k}{2}| = \frac{|P_k|}{2} = \frac{R}{2} = R_9$.

Угол между радиус-векторами соседних точек $V_k$ и $V_{k+1}$ (проведенными из центра $N$) равен углу между векторами $-\frac{P_k}{2}$ и $-\frac{P_{k+1}}{2}$. Этот угол, в свою очередь, равен углу между векторами $P_k$ и $P_{k+1}$, который по определению вершин правильного семиугольника равен $\frac{2\pi}{7}$.

Поскольку все семь точек лежат на одной окружности, и угловое расстояние между любыми двумя соседними точками постоянно и равно $\frac{2\pi}{7}$, эти семь точек $V_0, V_1, \dots, V_6$ являются вершинами правильного семиугольника, вписанного в окружность девяти точек.

Шесть точек, указанных в условии задачи (середины сторон и основания высот), соответствуют точкам $V_k$ для $k \in \{0, 1, 2, 4, 5, 6\}$. Это шесть из семи вершин построенного нами правильного семиугольника (не хватает только вершины $V_3$).

Ответ: Таким образом, доказано, что середины сторон и основания высот данного треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.

1407 Пусть ABCD — квадрат, а A₁B₁C₁ — правильный треугольник, вписанные в окружность радиуса R. Докажите, что сумма AB + А₁В₁ равна длине полуокружности с точностью до 0,01R.

Для доказательства данного утверждения необходимо найти длины сторон квадрата $ABCD$ и правильного треугольника $A_1B_1C_1$, вписанных в окружность радиуса $R$. Затем нужно вычислить их сумму и сравнить с длиной полуокружности того же радиуса.

Воспользуемся общей формулой для длины стороны $a_n$ правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$:

$a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

1. Длина стороны квадрата ($AB$)

Для квадрата $n=4$. Длина его стороны $AB$ равна:

$AB = a_4 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \sin(45^\circ)$

Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$AB = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$

2. Длина стороны правильного треугольника ($A_1B_1$)

Для правильного треугольника $n=3$. Длина его стороны $A_1B_1$ равна:

$A_1B_1 = a_3 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \sin(60^\circ)$

Поскольку $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$A_1B_1 = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

3. Сравнение суммы длин сторон с длиной полуокружности

Сумма длин сторон квадрата и треугольника составляет:

$S = AB + A_1B_1 = R\sqrt{2} + R\sqrt{3} = R(\sqrt{2} + \sqrt{3})$

Длина полуокружности радиуса $R$ равна $L = \pi R$.

Нам необходимо доказать, что сумма $S$ равна длине $L$ с точностью до $0.01R$. Это означает, что абсолютная разность между $S$ и $L$ не превышает $0.01R$:

$|S - L| \le 0.01R$

$|R(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \pi R| \le 0.01R$

Так как радиус $R > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $R$:

$|\sqrt{2} + \sqrt{3} - \pi| \le 0.01$

Для проверки этого неравенства воспользуемся приближенными значениями констант:

$\sqrt{2} \approx 1.4142$

$\sqrt{3} \approx 1.7321$

$\pi \approx 3.1416$

Вычислим значение выражения в левой части:

$|\sqrt{2} + \sqrt{3} - \pi| \approx |1.4142 + 1.7321 - 3.1416| = |3.1463 - 3.1416| = 0.0047$

Сравним полученный результат с $0.01$:

$0.0047 \le 0.01$

Неравенство верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Абсолютная разность между суммой сторон $AB + A_1B_1$ и длиной полуокружности $\pi R$ равна $|R(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \pi R| = R|\sqrt{2} + \sqrt{3} - \pi| \approx 0.0047R$, что меньше $0.01R$.