Номер 1404, страница 362 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 13. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1404, страница 362.

1404 В данную окружность впишите пятиконечную звезду.

Для того чтобы вписать пятиконечную звезду в данную окружность, необходимо сначала построить вершины правильного пятиугольника, вписанного в эту же окружность, а затем соединить их через одну. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

Вот пошаговый алгоритм построения:

1. Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Проведем через центр $O$ два взаимно перпендикулярных диаметра. Пусть один из них будет вертикальным, а другой — горизонтальным.
2. Обозначим верхнюю точку пересечения вертикального диаметра с окружностью как $P_1$, а правую точку пересечения горизонтального диаметра с окружностью как $A$.
3. Найдем середину радиуса $OA$. Обозначим эту точку как $M$. (Это делается построением серединного перпендикуляра к отрезку $OA$).
4. Установим ножку циркуля в точку $M$ и проведем дугу радиусом, равным расстоянию от $M$ до $P_1$. Эта дуга пересечет горизонтальный диаметр в точке $N$ (точка $N$ будет лежать на радиусе, противоположном $OA$).
5. Длина отрезка $P_1N$ равна длине стороны правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность. Установим раствор циркуля равным этой длине.
6. Начиная от точки $P_1$, последовательно отложим на окружности пять хорд длиной $P_1N$. Для этого ставим ножку циркуля в $P_1$ и делаем засечку на окружности, получая вершину $P_2$. Затем ставим ножку в $P_2$ и делаем засечку, получая $P_3$, и так далее. В результате мы получим пять вершин: $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$.
7. Чтобы получить пятиконечную звезду (пентаграмму), соединим полученные вершины отрезками через одну: $P_1$ с $P_3$, $P_3$ с $P_5$, $P_5$ с $P_2$, $P_2$ с $P_4$, и, наконец, $P_4$ с $P_1$.

Полученная в результате этих построений фигура и есть пятиконечная звезда, вписанная в данную окружность.

Ответ:

Чтобы вписать пятиконечную звезду в окружность, следует, используя циркуль и линейку, построить вершины вписанного правильного пятиугольника согласно приведенному выше алгоритму, а затем соединить эти вершины через одну.