Номер 1409, страница 363 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1409 На рисунке 425 изображены четыре полуокружности: AЕВ, АKС, CFD, DLB, причём AC=DB. Докажите, что площадь закрашенной фигуры равна площади круга, построенного на отрезке EF как на диаметре.

Доказательство:

Введём обозначения для радиусов полуокружностей. Пусть O — середина отрезка AB. Так как по условию $AC = DB$, то точка O также является серединой отрезка CD. Примем точку O за начало координат.

1. Пусть радиус большей полуокружности AEB равен $R$. Тогда её диаметр $AB = 2R$. Площадь этой полуокружности равна $S_{AEB} = \frac{1}{2}\pi R^2$.

2. Пусть радиус полуокружности CFD равен $r$. Тогда её диаметр $CD = 2r$. Площадь этой полуокружности равна $S_{CFD} = \frac{1}{2}\pi r^2$.

3. Найдём диаметр полуокружностей AKC и DLB. Так как $AC=DB$ и O — общая середина AB и CD, то $AC = AO - CO = R - r$. Следовательно, диаметр малых боковых полуокружностей равен $R-r$. Их радиус равен $\frac{R-r}{2}$. Площадь каждой из них равна $S_{AKC} = S_{DLB} = \frac{1}{2}\pi \left(\frac{R-r}{2}\right)^2 = \frac{\pi(R-r)^2}{8}$.

4. Теперь определим площадь закрашенной фигуры. Визуально она состоит из двух малых полуокружностей (AKC и DLB) и центральной части, которая представляет собой большую полуокружность (AEB) без вырезанной из неё средней полуокружности (CFD). Таким образом, площадь закрашенной фигуры $S_{закр}$ вычисляется по формуле:

$S_{закр} = S_{AKC} + S_{DLB} + (S_{AEB} - S_{CFD})$

Подставим выражения для площадей:

$S_{закр} = \frac{\pi(R-r)^2}{8} + \frac{\pi(R-r)^2}{8} + \left(\frac{1}{2}\pi R^2 - \frac{1}{2}\pi r^2\right)$

$S_{закр} = 2 \cdot \frac{\pi(R-r)^2}{8} + \frac{\pi}{2}(R^2 - r^2)$

$S_{закр} = \frac{\pi(R-r)^2}{4} + \frac{\pi}{2}(R-r)(R+r)$

Вынесем общий множитель $\frac{\pi(R-r)}{4}$ за скобки:

$S_{закр} = \frac{\pi(R-r)}{4} \left( (R-r) + 2(R+r) \right)$

$S_{закр} = \frac{\pi(R-r)}{4} (R - r + 2R + 2r)$

$S_{закр} = \frac{\pi(R-r)}{4} (3R + r)$

Примечание: Данное выражение показывает, что при буквальной трактовке фигуры, изображённой на рисунке, её площадь не равна площади круга, построенного на отрезке EF. В таких задачах часто встречается неточность в изображении. Классическая фигура "салинон", для которой утверждение задачи верно, предполагает, что средняя полуокружность (в данном случае CFD) строится на другой стороне от диаметра AB. Если предположить, что полуокружность CFD направлена вниз, то площадь фигуры вычисляется иначе. Однако, будем решать задачу в строгом соответствии с её условиями и рисунком. Вероятно, в условии задачи имеется в виду, что F — это не точка на полуокружности CFD, а точка, симметричная E относительно прямой AB, то есть EF — это диаметр окружности, которой принадлежит полуокружность AEB.

Давайте пересмотрим условие и докажем утверждение в предположении, что отрезок EF, упомянутый в задаче, является диаметром большой окружности, перпендикулярным диаметру AB (как это часто изображается на чертежах к подобным задачам). В этом случае длина $EF = 2R$.

Площадь круга, построенного на отрезке EF как на диаметре, будет равна:

$S_{круга} = \pi \left(\frac{EF}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{2R}{2}\right)^2 = \pi R^2$

Как показано выше, площадь закрашенной фигуры не равна $\pi R^2$. Это указывает на возможную ошибку в условии задачи 1409. Однако, если предположить, что в задаче имелась в виду классическая фигура "салинон" (где полуокружность CFD строится в противоположную сторону), то доказательство выглядит следующим образом:

Альтернативное доказательство (для классического салинона):

Площадь салинона вычисляется как $S_{салинон} = S_{AEB} - S_{AKC} - S_{DLB} + S_{CFD}$ (полуокружность CFD добавляется, так как она находится с другой стороны).

$S_{салинон} = \frac{1}{2}\pi R^2 - 2 \cdot \frac{\pi(R-r)^2}{8} + \frac{1}{2}\pi r^2$

$S_{салинон} = \frac{\pi}{2}(R^2+r^2) - \frac{\pi}{4}(R-r)^2$

$S_{салинон} = \frac{\pi}{4} [2(R^2+r^2) - (R^2-2Rr+r^2)]$

$S_{салинон} = \frac{\pi}{4} [2R^2+2r^2 - R^2+2Rr-r^2]$

$S_{салинон} = \frac{\pi}{4} [R^2+2Rr+r^2] = \frac{\pi}{4} (R+r)^2$

В этом случае отрезок EF соединяет вершины полуокружностей AEB и CFD, и его длина равна $EF = R+r$. Площадь круга с диаметром EF будет равна:

$S_{круга} = \pi \left(\frac{EF}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{R+r}{2}\right)^2 = \frac{\pi(R+r)^2}{4}$

В данном случае площади совпадают. Учитывая, что это стандартная олимпиадная задача, скорее всего, в рисунке допущена неточность, и фигура является салиноном.

Ответ: При условии, что фигура является классическим салиноном (полуокружность CFD направлена в противоположную сторону от AEB), площадь закрашенной фигуры равна $\frac{\pi}{4}(R+r)^2$. Площадь круга, построенного на отрезке EF (соединяющем вершины E и F) как на диаметре, также равна $\frac{\pi}{4}(R+r)^2$. Следовательно, утверждение задачи доказано для этой конфигурации.