Номер 1414, страница 363 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 14. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1414, страница 363.

1414 Докажите, что две трапеции равны, если основания и боковые стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и боковым сторонам другой.

Для доказательства равенства двух трапеций, у которых соответственно равны все четыре стороны, мы покажем, что у них также равны и все соответствующие углы. Равенство фигур по определению означает совпадение при наложении, что эквивалентно равенству всех соответствующих сторон и углов.

Доказательство:

Рассмотрим две трапеции $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Пусть $AD$ и $BC$ – основания трапеции $ABCD$, а $A_1D_1$ и $B_1C_1$ – основания трапеции $A_1B_1C_1D_1$. Согласно определению трапеции, $AD \parallel BC$ и $A_1D_1 \parallel B_1C_1$.

По условию задачи, основания и боковые стороны трапеций соответственно равны:

$AD = A_1D_1$ (большее основание)

$BC = B_1C_1$ (меньшее основание)

$AB = A_1B_1$ (боковая сторона)

$CD = C_1D_1$ (боковая сторона)

Для доказательства равенства трапеций $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ мы используем метод дополнительного построения.

1. В трапеции $ABCD$ проведём из вершины $C$ прямую $CE$, параллельную боковой стороне $AB$, до её пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.

Поскольку $BC \parallel AD$ (по определению трапеции) и $CE \parallel AB$ (по построению), то четырёхугольник $ABCE$ является параллелограммом. Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны:

$CE = AB$

$AE = BC$

Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. Его стороны имеют следующие длины:

• $CD$ (задана по условию)
• $CE = AB$
• $DE = AD - AE = AD - BC$

2. Проведём аналогичное построение в трапеции $A_1B_1C_1D_1$. Из вершины $C_1$ проведём прямую $C_1E_1$, параллельную стороне $A_1B_1$, до пересечения с основанием $A_1D_1$ в точке $E_1$.

Четырёхугольник $A_1B_1C_1E_1$ также является параллелограммом. Следовательно:

$C_1E_1 = A_1B_1$

$A_1E_1 = B_1C_1$

Стороны треугольника $C_1D_1E_1$ равны:

• $C_1D_1$ (задана по условию)
• $C_1E_1 = A_1B_1$
• $D_1E_1 = A_1D_1 - A_1E_1 = A_1D_1 - B_1C_1$

3. Сравним треугольники $CDE$ и $C_1D_1E_1$. По условию задачи мы знаем, что $AB=A_1B_1$, $CD=C_1D_1$, $AD=A_1D_1$ и $BC=B_1C_1$. Сравним стороны треугольников:

$CD = C_1D_1$ (по условию).

$CE = AB$ и $C_1E_1 = A_1B_1$. Так как $AB = A_1B_1$, то $CE = C_1E_1$.

$DE = AD - BC$ и $D_1E_1 = A_1D_1 - B_1C_1$. Так как $AD = A_1D_1$ и $BC = B_1C_1$, то $DE = D_1E_1$.

Таким образом, треугольники $\triangle CDE$ и $\triangle C_1D_1E_1$ равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).

4. Из равенства треугольников $\triangle CDE \cong \triangle C_1D_1E_1$ следует равенство их соответствующих углов:

$\angle D = \angle D_1$

$\angle CED = \angle C_1E_1D_1$

5. Теперь докажем равенство остальных углов трапеций.

Углы при боковой стороне трапеции, прилежащие к параллельным основаниям, в сумме дают $180^\circ$. Для стороны $CD$ в трапеции $ABCD$: $\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$, или $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Отсюда $\angle C = 180^\circ - \angle D$.

Аналогично, в трапеции $A_1B_1C_1D_1$: $\angle C_1 = 180^\circ - \angle D_1$.

Поскольку мы доказали, что $\angle D = \angle D_1$, то отсюда следует, что $\angle C = \angle C_1$.

Теперь рассмотрим угол $A$. В параллелограмме $ABCE$ сумма углов, прилежащих к стороне $AE$, равна $180^\circ$: $\angle BAE + \angle AEC = 180^\circ$. Углы $\angle AEC$ и $\angle CED$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^\circ$: $\angle AEC + \angle CED = 180^\circ$. Сравнивая эти два равенства, получаем $\angle BAE = \angle CED$, то есть $\angle A = \angle CED$.

Аналогично для второй трапеции доказывается, что $\angle A_1 = \angle C_1E_1D_1$.

Так как из равенства треугольников следует $\angle CED = \angle C_1E_1D_1$, то мы заключаем, что $\angle A = \angle A_1$.

Наконец, для углов при стороне $AB$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Отсюда $\angle B = 180^\circ - \angle A$. Аналогично, $\angle B_1 = 180^\circ - \angle A_1$. Так как $\angle A = \angle A_1$, то $\angle B = \angle B_1$.

6. В результате мы установили, что у трапеций $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны все соответствующие стороны (по условию) и все соответствующие углы (по доказанному). Следовательно, эти трапеции равны.

Ответ: Утверждение доказано. Две трапеции равны, если их основания и боковые стороны соответственно равны.