Номер 1399, страница 362 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 13. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1399, страница 362.

1399 На рисунке 422 изображён правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса R, AC — биссектриса угла ОAB. Докажите, что:

а) △ABС ∾ △ОAB;

б) $AB=AC=ОС=\frac{\sqrt{5-1}}{2}R.$

а) Докажите, что: $\triangle ABC \sim \triangle OAB$

1. Так как в окружность радиуса $R$ вписан правильный десятиугольник, то центральный угол, опирающийся на одну его сторону (в данном случае $AB$), равен $\angle AOB = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ$.

2. Треугольник $OAB$ является равнобедренным, поскольку его стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности ($OA = OB = R$). Следовательно, углы при основании $AB$ равны: $\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2} = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ$.

3. По условию задачи, $AC$ — биссектриса угла $OAB$. Это означает, что она делит угол $OAB$ на два равных угла: $\angle OAC = \angle CAB = \frac{\angle OAB}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$.

4. Теперь рассмотрим углы треугольника $ABC$:

• $\angle CAB = 36^\circ$ (как мы только что нашли).
• $\angle ABC$ совпадает с углом $OBA$, поэтому $\angle ABC = 72^\circ$.
• Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle BCA = 180^\circ - (\angle CAB + \angle ABC) = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

5. Сравним углы треугольников $ABC$ и $OAB$:

• Углы $\triangle ABC$: $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$.
• Углы $\triangle OAB$: $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$.

Поскольку углы одного треугольника соответственно равны углам другого ($\angle CAB = \angle AOB = 36^\circ$ и $\angle ABC = \angle OAB = 72^\circ$), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Ответ: Таким образом, подобие $\triangle ABC \sim \triangle OAB$ доказано.

б) Докажите, что: $AB = AC = OC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}R$

1. В треугольнике $ABC$ мы нашли, что $\angle ABC = 72^\circ$ и $\angle BCA = 72^\circ$. Так как два угла равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$, откуда следует, что $AB = AC$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $AOC$. Угол $\angle OAC = 36^\circ$ (так как $AC$ — биссектриса). Точка $C$ лежит на отрезке $OB$, поэтому угол $\angle AOC$ совпадает с углом $\angle AOB$, то есть $\angle AOC = 36^\circ$. Поскольку в треугольнике $AOC$ два угла равны ($\angle OAC = \angle AOC = 36^\circ$), он является равнобедренным с основанием $OA$. Следовательно, $AC = OC$.

3. Из равенств, полученных в пунктах 1 и 2, следует, что $AB = AC = OC$.

4. Воспользуемся подобием треугольников $\triangle ABC \sim \triangle OAB$, доказанным в части а). Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$$ \frac{AB}{OA} = \frac{BC}{AB} $$

5. Обозначим длину стороны $AB$ через $x$. Тогда $AB = AC = OC = x$. Радиус $OA = R$. Длина отрезка $BC$ равна разности длин отрезков $OB$ и $OC$, то есть $BC = OB - OC = R - x$.

6. Подставим эти обозначения в пропорцию:

$$ \frac{x}{R} = \frac{R-x}{x} $$

7. Решим это уравнение относительно $x$. Применяя перекрестное умножение, получаем:

$x^2 = R(R-x)$
$x^2 = R^2 - Rx$
$x^2 + Rx - R^2 = 0$

8. Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни по формуле:

$x = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-R^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 + 4R^2}}{2} = \frac{-R \pm \sqrt{5R^2}}{2} = \frac{R(-1 \pm \sqrt{5})}{2}$

9. Так как $x$ представляет собой длину отрезка, его значение должно быть положительным. Поэтому выбираем корень со знаком "плюс":

$$ x = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2} $$

Ответ: Мы доказали, что $AB = AC = OC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}R$.