Номер 1395, страница 361 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 12. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1395, страница 361.

1395 Докажите, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис треугольника.

Это утверждение типа «тогда и только тогда», поэтому нам нужно доказать эквивалентность двух условий:
1. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию.
2. Прямая, проходящая через центры вписанной ($I$) и описанной ($O$) окружностей, перпендикулярна одной из биссектрис треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$ напротив вершин $A, B, C$ и углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно. Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности.

Условие (1) означает, что для сторон треугольника выполняется одно из соотношений: $a+c=2b$, или $b+c=2a$, или $a+b=2c$.
Условие (2) означает, что прямая $OI$ перпендикулярна одной из биссектрис $AI$, $BI$ или $CI$.

Докажем, что условие $a+c=2b$ эквивалентно условию $OI \perp BI$. Остальные случаи доказываются аналогично в силу симметрии.

1. Преобразование условия $a+c=2b$
Используя теорему синусов $a = 2R\sin\alpha$, $b = 2R\sin\beta$, $c = 2R\sin\gamma$, перепишем условие $a+c=2b$:
$2R\sin\alpha + 2R\sin\gamma = 2(2R\sin\beta)$
$\sin\alpha + \sin\gamma = 2\sin\beta$

Применим формулу суммы синусов для левой части и формулу двойного угла для правой:
$2\sin\frac{\alpha+\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\gamma}{2} = 2\left(2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}\right)$

Поскольку $\alpha+\beta+\gamma=\pi$, то $\frac{\alpha+\gamma}{2} = \frac{\pi-\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\beta}{2}$. Отсюда $\sin\frac{\alpha+\gamma}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\beta}{2}\right) = \cos\frac{\beta}{2}$.
Подставим это в равенство:
$2\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\gamma}{2} = 4\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}$

Поскольку угол $\beta$ в треугольнике лежит в интервале $(0, \pi)$, то $\frac{\beta}{2} \in (0, \pi/2)$, и значит $\cos\frac{\beta}{2} \neq 0$. Мы можем разделить обе части на $2\cos\frac{\beta}{2}$:
$\cos\frac{\alpha-\gamma}{2} = 2\sin\frac{\beta}{2}$

Таким образом, условие $a+c=2b$ эквивалентно тригонометрическому соотношению $\cos\frac{\alpha-\gamma}{2} = 2\sin\frac{\beta}{2}$.

2. Преобразование условия $OI \perp BI$
Условие $OI \perp BI$ означает, что треугольник $OBI$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $I$. По теореме Пифагора для $\triangle OBI$:
$OB^2 = OI^2 + BI^2$

Нам известны длины отрезков в этом равенстве:
• $OB = R$ (радиус описанной окружности).
• $OI^2 = R(R-2r)$ (формула Эйлера для расстояния между центрами).
• $BI = \frac{r}{\sin(\beta/2)}$ (длина отрезка от вершины до инцентра).

Подставим эти значения в уравнение:
$R^2 = R(R-2r) + \left(\frac{r}{\sin(\beta/2)}\right)^2$
$R^2 = R^2 - 2Rr + \frac{r^2}{\sin^2(\beta/2)}$
$2Rr = \frac{r^2}{\sin^2(\beta/2)}$

Поскольку $r>0$, разделим обе части на $r$:
$2R = \frac{r}{\sin^2(\beta/2)}$, откуда $r = 2R\sin^2\frac{\beta}{2}$.

Теперь используем известную формулу для радиуса вписанной окружности: $r = 4R\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}$.
Приравняем два выражения для $r$:
$2R\sin^2\frac{\beta}{2} = 4R\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}$

Так как $R>0$ и $\sin(\beta/2) > 0$, разделим обе части на $2R\sin\frac{\beta}{2}$:
$\sin\frac{\beta}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\gamma}{2}$

Применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов $2\sin X \sin Y = \cos(X-Y) - \cos(X+Y)$:
$\sin\frac{\beta}{2} = \cos\frac{\alpha-\gamma}{2} - \cos\frac{\alpha+\gamma}{2}$

Как мы уже использовали, $\frac{\alpha+\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\beta}{2}$, поэтому $\cos\frac{\alpha+\gamma}{2} = \sin\frac{\beta}{2}$.
Подставим это в равенство:
$\sin\frac{\beta}{2} = \cos\frac{\alpha-\gamma}{2} - \sin\frac{\beta}{2}$
$2\sin\frac{\beta}{2} = \cos\frac{\alpha-\gamma}{2}$

Таким образом, условие $OI \perp BI$ эквивалентно тому же самому тригонометрическому соотношению $\cos\frac{\alpha-\gamma}{2} = 2\sin\frac{\beta}{2}$.

Заключение
Мы показали, что оба условия — «стороны $a, b, c$ образуют арифметическую прогрессию с средним членом $b$ ($a+c=2b$)» и «прямая $OI$ перпендикулярна биссектрисе $BI$» — эквивалентны одному и тому же соотношению между углами треугольника: $\cos\frac{\alpha-\gamma}{2} = 2\sin\frac{\beta}{2}$.

Аналогичные рассуждения можно провести для двух других случаев:
• $b+c=2a \iff OI \perp AI \iff \cos\frac{\beta-\gamma}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{2}$.
• $a+b=2c \iff OI \perp CI \iff \cos\frac{\alpha-\beta}{2} = 2\sin\frac{\gamma}{2}$.

Следовательно, стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна одной из биссектрис треугольника.

Ответ: Утверждение доказано.