Номер 1376, страница 359 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 11. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1376, страница 359.

1376 Вершины четырёхугольника ABCD имеют координаты A (x₁; у₁), B (х₂; у₂), C (x₃; у₃) и D (x₄; у₄). Докажите, что этот четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда х₁ + х₃ = х₂ + х₄ и у₁ + у₃ = у₂ + y₄.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Это эквивалентно тому, что середины диагоналей совпадают. Утверждение «тогда и только тогда» требует доказательства в обе стороны: необходимости и достаточности.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$, $C(x_3; y_3)$ и $D(x_4; y_4)$. Его диагоналями являются отрезки $AC$ и $BD$.

Найдем координаты середины диагонали $AC$, обозначив эту точку как $M_{AC}$. Используя формулу для нахождения координат середины отрезка, получаем: $M_{AC} = \left( \frac{x_1 + x_3}{2}; \frac{y_1 + y_3}{2} \right)$

Аналогично, найдем координаты середины диагонали $BD$, обозначив эту точку как $M_{BD}$: $M_{BD} = \left( \frac{x_2 + x_4}{2}; \frac{y_2 + y_4}{2} \right)$

1. Доказательство необходимости (прямое утверждение).
Предположим, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в их середине. Это означает, что точки $M_{AC}$ и $M_{BD}$ совпадают. Если точки совпадают, то их соответствующие координаты должны быть равны: $\frac{x_1 + x_3}{2} = \frac{x_2 + x_4}{2}$ и $\frac{y_1 + y_3}{2} = \frac{y_2 + y_4}{2}$.

Умножив обе части каждого равенства на 2, мы получаем требуемые соотношения: $x_1 + x_3 = x_2 + x_4$ и $y_1 + y_3 = y_2 + y_4$.

Таким образом, мы доказали, что если $ABCD$ — параллелограмм, то данные равенства выполняются.

2. Доказательство достаточности (обратное утверждение).
Теперь предположим, что для координат вершин четырехугольника $ABCD$ выполняются равенства: $x_1 + x_3 = x_2 + x_4$ и $y_1 + y_3 = y_2 + y_4$.

Разделим обе части каждого равенства на 2: $\frac{x_1 + x_3}{2} = \frac{x_2 + x_4}{2}$ и $\frac{y_1 + y_3}{2} = \frac{y_2 + y_4}{2}$.

Эти равенства означают, что абсциссы и ординаты точек $M_{AC}$ (середины $AC$) и $M_{BD}$ (середины $BD$) соответственно равны. Следовательно, точки $M_{AC}$ и $M_{BD}$ имеют одинаковые координаты, то есть совпадают. Это значит, что диагонали четырехугольника $ABCD$ в точке пересечения делятся пополам.

Согласно признаку параллелограмма, если у выпуклого четырехугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Поскольку мы доказали утверждение в обе стороны, исходное утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом тогда и только тогда, когда середины его диагоналей $AC$ и $BD$ совпадают, что в координатной форме выражается равенствами $x_1 + x_3 = x_2 + x_4$ и $y_1 + y_3 = y_2 + y_4$.