Номер 1371, страница 359 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 10. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1371, страница 359.

1371 Дан треугольник ABC. Докажите, что вектор AB| AB | + AC| AC | направлен вдоль биссектрисы угла А, а вектор AB| AB | - AC| AC | вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине A.

Доказательство того, что вектор $\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} + \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$ направлен вдоль биссектрисы угла А.

Рассмотрим данный вектор. Он представляет собой сумму двух векторов: $\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}$ и $\frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$.
Введем обозначения для этих векторов:
Пусть $\vec{e_1} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}$. Этот вектор является единичным (его длина, или модуль, равна 1), так как $|\vec{e_1}| = \frac{|\vec{AB}|}{|\vec{AB}|} = 1$. Направление вектора $\vec{e_1}$ совпадает с направлением вектора $\vec{AB}$.
Пусть $\vec{e_2} = \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$. Аналогично, это единичный вектор ($|\vec{e_2}| = 1$), направление которого совпадает с направлением вектора $\vec{AC}$.
Таким образом, нам нужно доказать, что вектор $\vec{s} = \vec{e_1} + \vec{e_2}$ направлен вдоль биссектрисы угла А.
Для сложения векторов $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$ воспользуемся правилом параллелограмма. Отложим оба вектора от вершины А. Вектор суммы $\vec{s}$ будет являться диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$ как на сторонах, и исходящей из той же вершины А.
Поскольку длины смежных сторон этого параллелограмма равны ($|\vec{e_1}| = |\vec{e_2}| = 1$), данный параллелограмм является ромбом.
Известно, что диагональ ромба является биссектрисой его угла. В нашем случае диагональ, представляющая вектор $\vec{s}$, делит пополам угол между векторами $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$. Этот угол в точности является углом А треугольника ABC.
Следовательно, вектор $\vec{s} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} + \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$ направлен вдоль биссектрисы угла А.
Ответ: Что и требовалось доказать.

Доказательство того, что вектор $\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} - \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$ направлен вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине А.

Рассмотрим вектор разности $\vec{d} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} - \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$.
Используя единичные векторы $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$ из предыдущего пункта, мы можем записать: $\vec{d} = \vec{e_1} - \vec{e_2}$.
Разность векторов можно представить как сумму: $\vec{d} = \vec{e_1} + (-\vec{e_2})$.
Вектор $-\vec{e_2}$ — это единичный вектор ($|-\vec{e_2}|=1$), направленный в сторону, противоположную вектору $\vec{e_2}$ (и, соответственно, вектору $\vec{AC}$).
Для нахождения вектора суммы $\vec{d}$ снова применим правило параллелограмма, отложив векторы $\vec{e_1}$ и $-\vec{e_2}$ от вершины А.
Параллелограмм, построенный на этих векторах, также является ромбом, поскольку длины его смежных сторон равны: $|\vec{e_1}| = 1$ и $|-\vec{e_2}| = 1$.
Вектор суммы $\vec{d}$ является диагональю этого ромба, исходящей из вершины А. Следовательно, он делит пополам угол между векторами $\vec{e_1}$ и $-\vec{e_2}$.
Угол между вектором $\vec{e_1}$ (направленным вдоль луча AB) и вектором $-\vec{e_2}$ (направленным вдоль луча, противоположного лучу AC) является внешним углом треугольника ABC при вершине А.
Таким образом, вектор $\vec{d} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} - \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$ направлен вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине А.
Ответ: Что и требовалось доказать.