Номер 1366, страница 357 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1366, страница 357.

1366 Докажите, что при гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника и коэффициентом k = –2 серединные перпендикуляры к сторонам треугольника переходят в прямые, содержащие высоты этого треугольника.

Для доказательства используем метод векторов. Пусть $A, B, C$ — вершины треугольника, а $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ — их радиус-векторы относительно некоторого начала координат $O$.

Точка пересечения медиан (центроид) треугольника, обозначим ее $M$, имеет радиус-вектор:$$ \vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} $$

Гомотетия с центром в точке $M$ и коэффициентом $k$ переводит любую точку $P$ с радиус-вектором $\vec{p}$ в точку $P'$ с радиус-вектором $\vec{p'}$, который определяется соотношением $\vec{MP'} = k \cdot \vec{MP}$. В координатах это выглядит так:$$ \vec{p'} - \vec{m} = k(\vec{p} - \vec{m}) \implies \vec{p'} = \vec{m} + k(\vec{p} - \vec{m}) $$

В нашей задаче $k = -2$. Подставим это значение и выражение для $\vec{m}$:$$ \vec{p'} = \vec{m} - 2(\vec{p} - \vec{m}) = 3\vec{m} - 2\vec{p} = 3 \left( \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \right) - 2\vec{p} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{p} $$

Теперь рассмотрим серединный перпендикуляр к одной из сторон треугольника, например, к стороне $BC$. Обозначим этот перпендикуляр как $l_a$.

Прямая $l_a$ обладает двумя свойствами:

1. Она проходит через середину стороны $BC$. Обозначим эту середину как $A_1$. Радиус-вектор точки $A_1$ равен $\vec{a_1} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$.
2. Она перпендикулярна вектору $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$, который задает направление стороны $BC$.

Рассмотрим также высоту треугольника, опущенную из вершины $A$ на сторону $BC$. Обозначим прямую, содержащую эту высоту, как $h_a$. Эта прямая также перпендикулярна стороне $BC$. Следовательно, прямые $l_a$ и $h_a$ параллельны друг другу.

При гомотетии любая прямая переходит в параллельную ей прямую. Значит, образ серединного перпендикуляра $l_a$ при нашей гомотетии, обозначим его $l'_a$, будет прямой, параллельной $l_a$. А так как $l_a \parallel h_a$, то и $l'_a \parallel h_a$.

Чтобы доказать, что прямая $l'_a$ совпадает с прямой $h_a$, достаточно показать, что они имеют хотя бы одну общую точку. Мы знаем, что высота $h_a$ проходит через вершину $A$. Покажем, что и ее образ $l'_a$ также проходит через точку $A$. Для этого найдем образ какой-нибудь точки, лежащей на $l_a$. Удобнее всего взять середину стороны $BC$ — точку $A_1$.

Найдем радиус-вектор $\vec{a'_1}$ образа точки $A_1$ при гомотетии с $k=-2$:$$ \vec{a'_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a_1} $$Подставим радиус-вектор точки $A_1$:$$ \vec{a'_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 2\left(\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}\right) = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} $$

Таким образом, середина стороны $BC$ (точка $A_1$) при данной гомотетии переходит в вершину $A$. Это означает, что образ серединного перпендикуляра $l'_a = H(l_a)$ проходит через точку $A$.

Мы получили, что $l'_a$ — это прямая, проходящая через точку $A$ и параллельная высоте $h_a$. Поскольку высота $h_a$ также проходит через точку $A$, прямые $l'_a$ и $h_a$ совпадают.

Аналогичные рассуждения можно провести для двух других сторон треугольника ($AC$ и $AB$). Серединный перпендикуляр к $AC$ перейдет в прямую, содержащую высоту из вершины $B$, а серединный перпендикуляр к $AB$ — в прямую, содержащую высоту из вершины $C$.

Следовательно, при гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника и коэффициентом $k=-2$ серединные перпендикуляры к сторонам треугольника переходят в прямые, содержащие высоты этого треугольника.

Ответ: Что и требовалось доказать.