Номер 1361, страница 356 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1361, страница 356.

1361 В окружности проведён диаметр АВ. Через точку А и произвольную точку М этой окружности проведена прямая, пересекающая в точке K касательную к окружности в точке В. Докажите, что произведение АМ ⋅ АK не зависит от выбора точки М на окружности.

Рассмотрим треугольники $AMB$ и $ABK$.

По условию задачи, $AB$ является диаметром окружности, а точка $M$ — произвольная точка на этой окружности. Угол, который опирается на диаметр, всегда прямой. Следовательно, $\angle AMB = 90^\circ$. Это значит, что $\triangle AMB$ является прямоугольным треугольником, где $AB$ — гипотенуза.

Прямая, проходящая через точку $K$, является касательной к окружности в точке $B$. По свойству касательной, она перпендикулярна радиусу (и, соответственно, диаметру), проведённому в точку касания. Таким образом, $BK \perp AB$, из чего следует, что $\angle ABK = 90^\circ$. Это значит, что $\triangle ABK$ также является прямоугольным треугольником, где $AK$ — гипотенуза.

Теперь сравним два прямоугольных треугольника: $\triangle AMB$ и $\triangle ABK$.
1. У них есть общий острый угол: $\angle MAB$ (или $\angle KAB$).
2. Оба треугольника имеют по прямому углу: $\angle AMB = 90^\circ$ и $\angle ABK = 90^\circ$.

Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого, эти треугольники подобны (по первому признаку подобия или по признаку подобия прямоугольных треугольников по острому углу). Таким образом, $\triangle AMB \sim \triangle ABK$.

Из подобия треугольников следует, что их соответствующие стороны пропорциональны. Запишем соотношение для сторон, лежащих напротив равных углов:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AB}{AK}$
(Сторона $AM$ в $\triangle AMB$ лежит напротив угла $\angle ABM$; сторона $AB$ в $\triangle ABK$ лежит напротив угла $\angle AKB$. Гипотенуза $AB$ в $\triangle AMB$ лежит напротив прямого угла $\angle AMB$; гипотенуза $AK$ в $\triangle ABK$ лежит напротив прямого угла $\angle ABK$).

Из этой пропорции, применив перекрёстное умножение, получаем равенство:
$AM \cdot AK = AB \cdot AB$
$AM \cdot AK = AB^2$

Так как $AB$ — это диаметр данной окружности, его длина является постоянной величиной для этой окружности. Следовательно, произведение $AM \cdot AK$ равно квадрату диаметра, то есть является константой, которая не зависит от выбора точки $M$ на окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение $AM \cdot AK$ равно квадрату диаметра окружности ($AB^2$). Поскольку для заданной окружности диаметр является постоянной величиной, то и значение данного произведения не зависит от выбора точки $M$.