Номер 1364, страница 357 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1364, страница 357.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№1364 (с. 357)
Условие. №1364 (с. 357)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 357, номер 1364, Условие Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 357, номер 1364, Условие (продолжение 2)

1364 На рисунке 419 точки P и C, а также B и Q симметричны относительно биссектрисы AX угла BAC. Известно, что AB=5, AC=3. Используя гомотетию с центром в точке D пересечения отрезков PQ и BC, докажите, что CD=38.

Рисунок 419
Решение 1. №1364 (с. 357)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 357, номер 1364, Решение 1
Решение 10. №1364 (с. 357)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 357, номер 1364, Решение 10
Решение 11. №1364 (с. 357)

1. Анализ условия и следствия из симметрии

По условию, точки $P$ и $C$ симметричны относительно биссектрисы $AX$ угла $BAC$. Ось симметрии ($AX$) является серединным перпендикуляром к отрезку $PC$. Любая точка на оси симметрии равноудалена от симметричных точек. Так как точка $A$ лежит на оси $AX$, расстояние от $A$ до $P$ равно расстоянию от $A$ до $C$.

$AP = AC$

Поскольку $AC = 3$, то и $AP = 3$. Так как точка $C$ лежит на одной стороне угла, а $P$ симметрична ей, $P$ лежит на другой стороне угла, то есть на луче $AB$.

Аналогично, точки $B$ и $Q$ симметричны относительно биссектрисы $AX$. Следовательно, расстояние от точки $A$ до $B$ равно расстоянию от $A$ до $Q$.

$AQ = AB$

Поскольку $AB = 5$, то и $AQ = 5$. Так как точка $B$ лежит на луче $AB$, симметричная ей точка $Q$ лежит на луче $AC$.

Таким образом, на луче, содержащем отрезок $AB$, лежат точки $P$ и $B$ на расстояниях $AP=3$ и $AB=5$ от $A$. На луче, содержащем отрезок $AC$, лежат точки $C$ и $Q$ на расстояниях $AC=3$ и $AQ=5$ от $A$.

2. Доказательство параллельности отрезков PC и BQ

Рассмотрим треугольник $ABQ$. Точка $P$ лежит на его стороне $AB$, а точка $C$ — на стороне $AQ$. Найдем отношения отрезков, выходящих из вершины $A$:

$\frac{AP}{AB} = \frac{3}{5}$

$\frac{AC}{AQ} = \frac{3}{5}$

Поскольку $\frac{AP}{AB} = \frac{AC}{AQ}$, то по обратной теореме Фалеса (или по признаку подобия треугольников $APC$ и $ABQ$) отрезок $PC$ параллелен отрезку $BQ$.

$PC \parallel BQ$

3. Применение гомотетии с центром в точке D

Точка $D$ является точкой пересечения отрезков $PQ$ и $BC$. Рассмотрим гомотетию $H$ с центром в точке $D$.

Так как $PC \parallel BQ$, существует гомотетия с центром $D$, которая переводит прямую $PC$ в прямую $BQ$.

Давайте определим, в какие точки эта гомотетия переводит точки $P$ и $C$.

  • Прямая $BC$ проходит через центр гомотетии $D$, следовательно, она переходит сама в себя. Точка $C$ лежит на пересечении прямых $PC$ и $BC$. Ее образ $H(C)$ должен лежать на пересечении образов этих прямых. Образом прямой $PC$ является прямая $BQ$, а образом прямой $BC$ является сама прямая $BC$. Пересечением прямых $BQ$ и $BC$ является точка $B$. Следовательно, $H(C) = B$.
  • Прямая $PQ$ также проходит через центр гомотетии $D$ и переходит сама в себя. Точка $P$ лежит на пересечении прямых $PC$ и $PQ$. Ее образ $H(P)$ должен лежать на пересечении образов этих прямых. Образом прямой $PC$ является прямая $BQ$, а образом прямой $PQ$ является сама прямая $PQ$. Пересечением прямых $BQ$ и $PQ$ является точка $Q$. Следовательно, $H(P) = Q$.

4. Вычисление коэффициента гомотетии и длины CD

Мы установили, что гомотетия $H$ с центром в $D$ переводит точку $C$ в точку $B$. По определению гомотетии, это означает, что векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ коллинеарны и связаны через коэффициент гомотетии $k$: $\vec{DB} = k \cdot \vec{DC}$.

Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $BC$, векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ направлены в противоположные стороны, значит коэффициент $k$ отрицателен. Его модуль $|k|$ равен отношению длин соответствующих отрезков:

$|k| = \frac{DB}{DC}$

Модуль коэффициента гомотетии также равен отношению длин любых соответствующих отрезков, например, $BQ$ и $PC$:

$|k| = \frac{BQ}{PC}$

Из подобия треугольников $APC$ и $ABQ$ (по двум сторонам и углу между ними) следует, что отношение их третьих сторон равно коэффициенту подобия:

$\frac{PC}{BQ} = \frac{AP}{AB} = \frac{3}{5}$

Следовательно, $|k| = \frac{BQ}{PC} = \frac{5}{3}$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для $|k|$:

$\frac{DB}{DC} = \frac{5}{3} \implies DB = \frac{5}{3} DC$

Точка $D$ лежит на отрезке $BC$, поэтому $BC = DB + DC$. Подставим выражение для $DB$:

$BC = \frac{5}{3} DC + DC = (\frac{5}{3} + 1) DC = \frac{8}{3} DC$

Отсюда выражаем $DC$:

$DC = \frac{3}{8} BC$

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка $CD$ составляет $\frac{3}{8}$ от длины отрезка $BC$. В условии задачи требуется доказать, что $CD = \frac{3}{8}$. Это равенство было бы верным только в том случае, если бы длина отрезка $BC$ была равна 1. Однако длина $BC$ зависит от угла $BAC$ (обозначим его $\alpha$) и по теореме косинусов равна $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos\alpha} = \sqrt{5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos\alpha} = \sqrt{34 - 30\cos\alpha}$. Поскольку угол не задан, длина $BC$ не фиксирована и, в общем случае, не равна 1. Вероятнее всего, в условии задачи имеется неточность, и требовалось доказать именно соотношение $CD = \frac{3}{8}BC$. Следуя этому предположению, мы завершаем доказательство.

Ответ: Было доказано, что $CD = \frac{3}{8}BC$. Утверждение $CD=\frac{3}{8}$, приведенное в задаче, выполняется только при условии $BC=1$, что в общем случае неверно и зависит от величины угла $BAC$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1364 расположенного на странице 357 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1364 (с. 357), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться