Номер 1364, страница 357 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1364, страница 357.
№1364 (с. 357)
Условие. №1364 (с. 357)
скриншот условия


1364 На рисунке 419 точки P и C, а также B и Q симметричны относительно биссектрисы AX угла BAC. Известно, что AB=5, AC=3. Используя гомотетию с центром в точке D пересечения отрезков PQ и BC, докажите, что CD=38.

Решение 1. №1364 (с. 357)

Решение 10. №1364 (с. 357)

Решение 11. №1364 (с. 357)
1. Анализ условия и следствия из симметрии
По условию, точки $P$ и $C$ симметричны относительно биссектрисы $AX$ угла $BAC$. Ось симметрии ($AX$) является серединным перпендикуляром к отрезку $PC$. Любая точка на оси симметрии равноудалена от симметричных точек. Так как точка $A$ лежит на оси $AX$, расстояние от $A$ до $P$ равно расстоянию от $A$ до $C$.
$AP = AC$
Поскольку $AC = 3$, то и $AP = 3$. Так как точка $C$ лежит на одной стороне угла, а $P$ симметрична ей, $P$ лежит на другой стороне угла, то есть на луче $AB$.
Аналогично, точки $B$ и $Q$ симметричны относительно биссектрисы $AX$. Следовательно, расстояние от точки $A$ до $B$ равно расстоянию от $A$ до $Q$.
$AQ = AB$
Поскольку $AB = 5$, то и $AQ = 5$. Так как точка $B$ лежит на луче $AB$, симметричная ей точка $Q$ лежит на луче $AC$.
Таким образом, на луче, содержащем отрезок $AB$, лежат точки $P$ и $B$ на расстояниях $AP=3$ и $AB=5$ от $A$. На луче, содержащем отрезок $AC$, лежат точки $C$ и $Q$ на расстояниях $AC=3$ и $AQ=5$ от $A$.
2. Доказательство параллельности отрезков PC и BQ
Рассмотрим треугольник $ABQ$. Точка $P$ лежит на его стороне $AB$, а точка $C$ — на стороне $AQ$. Найдем отношения отрезков, выходящих из вершины $A$:
$\frac{AP}{AB} = \frac{3}{5}$
$\frac{AC}{AQ} = \frac{3}{5}$
Поскольку $\frac{AP}{AB} = \frac{AC}{AQ}$, то по обратной теореме Фалеса (или по признаку подобия треугольников $APC$ и $ABQ$) отрезок $PC$ параллелен отрезку $BQ$.
$PC \parallel BQ$
3. Применение гомотетии с центром в точке D
Точка $D$ является точкой пересечения отрезков $PQ$ и $BC$. Рассмотрим гомотетию $H$ с центром в точке $D$.
Так как $PC \parallel BQ$, существует гомотетия с центром $D$, которая переводит прямую $PC$ в прямую $BQ$.
Давайте определим, в какие точки эта гомотетия переводит точки $P$ и $C$.
- Прямая $BC$ проходит через центр гомотетии $D$, следовательно, она переходит сама в себя. Точка $C$ лежит на пересечении прямых $PC$ и $BC$. Ее образ $H(C)$ должен лежать на пересечении образов этих прямых. Образом прямой $PC$ является прямая $BQ$, а образом прямой $BC$ является сама прямая $BC$. Пересечением прямых $BQ$ и $BC$ является точка $B$. Следовательно, $H(C) = B$.
- Прямая $PQ$ также проходит через центр гомотетии $D$ и переходит сама в себя. Точка $P$ лежит на пересечении прямых $PC$ и $PQ$. Ее образ $H(P)$ должен лежать на пересечении образов этих прямых. Образом прямой $PC$ является прямая $BQ$, а образом прямой $PQ$ является сама прямая $PQ$. Пересечением прямых $BQ$ и $PQ$ является точка $Q$. Следовательно, $H(P) = Q$.
4. Вычисление коэффициента гомотетии и длины CD
Мы установили, что гомотетия $H$ с центром в $D$ переводит точку $C$ в точку $B$. По определению гомотетии, это означает, что векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ коллинеарны и связаны через коэффициент гомотетии $k$: $\vec{DB} = k \cdot \vec{DC}$.
Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $BC$, векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ направлены в противоположные стороны, значит коэффициент $k$ отрицателен. Его модуль $|k|$ равен отношению длин соответствующих отрезков:
$|k| = \frac{DB}{DC}$
Модуль коэффициента гомотетии также равен отношению длин любых соответствующих отрезков, например, $BQ$ и $PC$:
$|k| = \frac{BQ}{PC}$
Из подобия треугольников $APC$ и $ABQ$ (по двум сторонам и углу между ними) следует, что отношение их третьих сторон равно коэффициенту подобия:
$\frac{PC}{BQ} = \frac{AP}{AB} = \frac{3}{5}$
Следовательно, $|k| = \frac{BQ}{PC} = \frac{5}{3}$.
Теперь мы можем приравнять два выражения для $|k|$:
$\frac{DB}{DC} = \frac{5}{3} \implies DB = \frac{5}{3} DC$
Точка $D$ лежит на отрезке $BC$, поэтому $BC = DB + DC$. Подставим выражение для $DB$:
$BC = \frac{5}{3} DC + DC = (\frac{5}{3} + 1) DC = \frac{8}{3} DC$
Отсюда выражаем $DC$:
$DC = \frac{3}{8} BC$
Таким образом, мы доказали, что длина отрезка $CD$ составляет $\frac{3}{8}$ от длины отрезка $BC$. В условии задачи требуется доказать, что $CD = \frac{3}{8}$. Это равенство было бы верным только в том случае, если бы длина отрезка $BC$ была равна 1. Однако длина $BC$ зависит от угла $BAC$ (обозначим его $\alpha$) и по теореме косинусов равна $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos\alpha} = \sqrt{5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos\alpha} = \sqrt{34 - 30\cos\alpha}$. Поскольку угол не задан, длина $BC$ не фиксирована и, в общем случае, не равна 1. Вероятнее всего, в условии задачи имеется неточность, и требовалось доказать именно соотношение $CD = \frac{3}{8}BC$. Следуя этому предположению, мы завершаем доказательство.
Ответ: Было доказано, что $CD = \frac{3}{8}BC$. Утверждение $CD=\frac{3}{8}$, приведенное в задаче, выполняется только при условии $BC=1$, что в общем случае неверно и зависит от величины угла $BAC$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1364 расположенного на странице 357 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1364 (с. 357), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.