Номер 1363, страница 357 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1363, страница 357.

1363 По данным рисунка 418, пользуясь предыдущей задачей, докажите, что ВK:KD=2:1.

Для решения данной задачи необходимо восстановить условия по контексту. Предположим, что на рисунке 418 изображён параллелограмм $ABCD$, и точка $K$ является точкой пересечения диагонали $BD$ с отрезком $AN$, где $N$ — середина стороны $CD$. Также предположим, что в предыдущей задаче было доказано свойство точки пересечения медиан треугольника (центроида): медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Проведём его диагонали $AC$ и $BD$. Пусть точка их пересечения — $O$. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $AC$ ($AO = OC$) и серединой диагонали $BD$ ($BO = OD$).

2. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$.

- Отрезок $AN$ в этом треугольнике является медианой, так как он соединяет вершину $A$ с серединой противолежащей стороны $CD$ (точкой $N$).

- Отрезок $DO$ в этом же треугольнике также является медианой, так как он соединяет вершину $D$ с серединой противолежащей стороны $AC$ (точкой $O$).

3. Точка $K$ по условию является точкой пересечения отрезков $AN$ и $BD$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $BD$, то $K$ — это точка пересечения медиан $AN$ и $DO$ треугольника $\triangle ADC$. Точка пересечения медиан треугольника называется его центроидом.

4. Воспользуемся свойством медиан, доказанным в предыдущей задаче: медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $DO$ это означает, что:

$DK : KO = 2 : 1$

5. Обозначим длину отрезка $KO$ за $x$. Тогда из соотношения выше следует, что длина отрезка $DK$ равна $2x$.

$KO = x$, $DK = 2x$.

6. Длина всей медианы $DO$ будет равна сумме длин её частей:

$DO = DK + KO = 2x + x = 3x$.

7. Мы знаем, что $O$ — это середина диагонали $BD$. Значит, $BO = DO$.

$BO = 3x$.

8. Теперь мы можем найти длину отрезка $BK$. Он состоит из двух частей: $BO$ и $OK$.

$BK = BO + OK = 3x + x = 4x$.

9. Наконец, найдём искомое отношение длин отрезков $BK$ и $KD$:

$\frac{BK}{KD} = \frac{4x}{2x} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, мы доказали, что $BK : KD = 2 : 1$.

Ответ:

Утверждение $BK : KD = 2 : 1$ доказано на основе свойства точки пересечения медиан треугольника.