Номер 1367, страница 357 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1367, страница 357.

1367 Докажите, что центр описанной окружности, центроид и ортоцентр треугольника лежат на одной прямой (прямая Эйлера).

1367.

Для доказательства воспользуемся методом гомотетии. Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Введем обозначения для его замечательных точек: $O$ – центр описанной окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам), $M$ – центроид (точка пересечения медиан), $H$ – ортоцентр (точка пересечения высот).

Рассмотрим гомотетию $G$ с центром в центроиде $M$ и коэффициентом $k = -1/2$.

Пусть $A_1, B_1, C_1$ – середины сторон $BC, AC$ и $AB$ соответственно. Известно, что центроид $M$ делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Например, для медианы $AA_1$ справедливо $AM = 2MA_1$. Если рассматривать векторы с началом в точке $M$, это свойство можно записать как $\vec{MA_1} = -\frac{1}{2}\vec{MA}$. Аналогичные векторные равенства верны и для двух других медиан: $\vec{MB_1} = -\frac{1}{2}\vec{MB}$ и $\vec{MC_1} = -\frac{1}{2}\vec{MC}$.

Из этих равенств следует, что гомотетия $G$ отображает вершины треугольника $ABC$ в середины его противолежащих сторон: $G(A)=A_1, G(B)=B_1, G(C)=C_1$. Таким образом, образом треугольника $ABC$ при этой гомотетии является его серединный треугольник $A_1B_1C_1$.

Теперь определим, в какую точку гомотетия $G$ отображает ортоцентр $H$ треугольника $ABC$. Ортоцентр $H$ – это точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника. Обозначим прямую, на которой лежит высота из вершины $A$ к стороне $BC$, как $l_A$. По определению высоты, $l_A \perp BC$.

При гомотетии любая прямая переходит в параллельную ей прямую. Образом прямой $l_A$ будет прямая $l'_A = G(l_A)$, которая проходит через образ точки $A$, то есть через точку $A_1$. При этом $l'_A \parallel l_A$. Поскольку $l_A \perp BC$, то и ее образ $l'_A$ будет перпендикулярен стороне $BC$.

Таким образом, прямая $l'_A$ – это прямая, проходящая через середину $A_1$ стороны $BC$ и перпендикулярная этой стороне. По определению, это серединный перпендикуляр к стороне $BC$.

Проведя аналогичные рассуждения для высот из вершин $B$ и $C$, мы установим, что их образами при гомотетии $G$ являются серединные перпендикуляры к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно.

Ортоцентр $H$ является точкой пересечения трех высот. Его образ, $G(H)$, следовательно, является точкой пересечения образов этих высот, то есть точкой пересечения трех серединных перпендикуляров к сторонам треугольника $ABC$. Эта точка, по определению, является центром описанной окружности $O$.

Итак, мы получили, что $G(H) = O$.

По основному свойству гомотетии, центр гомотетии ($M$), любая точка-прообраз ($H$) и ее образ ($O$) лежат на одной прямой. Это означает, что точки $O, M, H$ коллинеарны.

Прямая, содержащая центр описанной окружности, центроид и ортоцентр треугольника, называется прямой Эйлера.

Ответ: Утверждение доказано. Центр описанной окружности $O$, центроид $M$ и ортоцентр $H$ треугольника лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера. Кроме того, из соотношения гомотетии $\vec{MO} = -\frac{1}{2}\vec{MH}$ следует, что центроид $M$ лежит на отрезке $OH$ и делит его в отношении $OM:MH = 1:2$.