Номер 1360, страница 356 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1360, страница 356.

1360 В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках М и N, а другая — в точках Р и Q. Докажите, что эти окружности на прямой МQ отсекают равные хорды.

Пусть данный угол имеет вершину в точке $A$, а его стороны — лучи, которые мы обозначим $l_1$ и $l_2$. Пусть первая окружность, $\omega_1$, имеет центр $O_1$ и радиус $r_1$. Она касается стороны $l_1$ в точке $M$ и стороны $l_2$ в точке $N$. Пусть вторая окружность, $\omega_2$, имеет центр $O_2$ и радиус $r_2$. Она касается стороны $l_1$ в точке $P$ и стороны $l_2$ в точке $Q$.

Центры окружностей, вписанных в угол, лежат на его биссектрисе. Пусть величина угла с вершиной $A$ равна $2\alpha$. Тогда биссектриса делит его на два угла величиной $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMO_1$, где $\angle AMO_1 = 90^\circ$, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. В этом треугольнике катет $O_1M$ равен радиусу $r_1$, а угол $\angle MAO_1 = \alpha$. Отсюда находим длину отрезка $AM$: $AM = \frac{O_1M}{\tan(\angle MAO_1)} = \frac{r_1}{\tan(\alpha)}$

Аналогично, из прямоугольного треугольника $\triangle AQO_2$ ($\angle AQO_2 = 90^\circ$, $O_2Q = r_2$, $\angle QAO_2 = \alpha$) находим длину отрезка $AQ$: $AQ = \frac{O_2Q}{\tan(\angle QAO_2)} = \frac{r_2}{\tan(\alpha)}$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AMQ$. Применим к нему теорему синусов: $\frac{AM}{\sin(\angle AQM)} = \frac{AQ}{\sin(\angle AMQ)}$

Подставим в это равенство найденные выражения для $AM$ и $AQ$: $\frac{r_1/\tan(\alpha)}{\sin(\angle AQM)} = \frac{r_2/\tan(\alpha)}{\sin(\angle AMQ)}$

Поскольку угол $2\alpha$ ненулевой, $\tan(\alpha) \neq 0$. Умножим обе части равенства на $\tan(\alpha)$: $\frac{r_1}{\sin(\angle AQM)} = \frac{r_2}{\sin(\angle AMQ)}$

Преобразуем это равенство, используя основное свойство пропорции: $r_1 \sin(\angle AMQ) = r_2 \sin(\angle AQM)$

Теперь найдём длины хорд. Пусть прямая $MQ$ пересекает окружность $\omega_1$ в точках $M$ и $M'$. Хорда, отсекаемая на окружности $\omega_1$, — это отрезок $MM'$. Длина хорды в окружности может быть вычислена по формуле $L = 2R \sin(\beta)$, где $R$ — радиус окружности, а $\beta$ — вписанный угол, опирающийся на эту хорду.

Согласно теореме об угле между касательной и хордой, угол $\angle AMQ$ (между касательной $AM$ и хордой $MM'$) равен вписанному углу, опирающемуся на хорду $MM'$. Следовательно, длина хорды $MM'$ равна: $L_1 = 2r_1 \sin(\angle AMQ)$

Аналогично, пусть прямая $MQ$ пересекает окружность $\omega_2$ в точках $Q$ и $Q'$. Хорда, отсекаемая на окружности $\omega_2$, — это отрезок $QQ'$. Угол $\angle AQM$ (между касательной $AQ$ и хордой $QQ'$) равен вписанному углу, опирающемуся на хорду $QQ'$. Следовательно, длина хорды $QQ'$ равна: $L_2 = 2r_2 \sin(\angle AQM)$

Ранее мы установили, что $r_1 \sin(\angle AMQ) = r_2 \sin(\angle AQM)$. Из этого следует, что $\frac{L_1}{2} = \frac{L_2}{2}$, а значит, $L_1 = L_2$.

Таким образом, мы доказали, что длины хорд, отсекаемых окружностями на прямой $MQ$, равны.

Ответ: Утверждение задачи доказано.