Номер 1354, страница 356 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1354, страница 356.

1354 Пользуясь предыдущей задачей, докажите, что если при некоторой гомотетии отрезок АВ переходит в отрезок А₁В₁, то середина отрезка АВ переходит в середину отрезка А₁В₁.

Пусть дана гомотетия $H$ с центром в некоторой точке $O$ и коэффициентом $k$. По условию, при этой гомотетии отрезок $AB$ переходит в отрезок $A_1B_1$. Это означает, что образами точек $A$ и $B$ являются точки $A_1$ и $B_1$ соответственно, то есть $H(A) = A_1$ и $H(B) = B_1$.

Обозначим середину отрезка $AB$ точкой $M$. По определению середины отрезка, выполняется векторное равенство: $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Пусть $M_1$ — это образ точки $M$ при гомотетии $H$, то есть $M_1 = H(M)$. Нам нужно доказать, что $M_1$ является серединой отрезка $A_1B_1$.

В условии сказано воспользоваться предыдущей задачей. В предыдущей задаче, как правило, доказывается основное свойство гомотетии для векторов: если точки $X$ и $Y$ переходят в точки $X_1$ и $Y_1$ при гомотетии с коэффициентом $k$, то справедливо равенство $\vec{X_1Y_1} = k \cdot \vec{XY}$.

Применим это свойство к парам точек $(A, M)$ и $(A, B)$:

1) Для точек $A$ и $M$ и их образов $A_1$ и $M_1$ имеем: $\vec{A_1M_1} = k \cdot \vec{AM}$.
2) Для точек $A$ и $B$ и их образов $A_1$ и $B_1$ имеем: $\vec{A_1B_1} = k \cdot \vec{AB}$.

Подставим в первое равенство выражение для $\vec{AM}$ из определения середины отрезка: $\vec{A_1M_1} = k \cdot \left(\frac{1}{2}\vec{AB}\right)$

Перегруппируем множители: $\vec{A_1M_1} = \frac{1}{2}(k \cdot \vec{AB})$

Теперь воспользуемся вторым равенством ($\vec{A_1B_1} = k \cdot \vec{AB}$) и заменим выражение в скобках: $\vec{A_1M_1} = \frac{1}{2}\vec{A_1B_1}$

Полученное векторное равенство $\vec{A_1M_1} = \frac{1}{2}\vec{A_1B_1}$ означает, что точка $M_1$ лежит на отрезке $A_1B_1$, и её расстояние от точки $A_1$ равно половине длины всего отрезка $A_1B_1$. Это по определению означает, что $M_1$ является серединой отрезка $A_1B_1$.

Таким образом, доказано, что середина отрезка $AB$ при гомотетии переходит в середину отрезка $A_1B_1$.

Ответ: что и требовалось доказать.