Номер 1348, страница 355 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1348, страница 355.

1348 Дан треугольник АВС. Постройте треугольник А₁В₁С₁, подобный треугольнику АВС, площадь которого в 2 раза больше площади треугольника АВС.

Для решения задачи нам нужно построить треугольник $A_1B_1C_1$, подобный данному треугольнику $ABC$, площадь которого в 2 раза больше площади $\triangle ABC$.

Анализ и план построения

Пусть $S$ и $S_1$ — площади треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$.

$\frac{S_1}{S} = k^2$

По условию задачи, $S_1 = 2S$, следовательно, $\frac{S_1}{S} = 2$.

$k^2 = 2 \Rightarrow k = \sqrt{2}$

Таким образом, коэффициент подобия искомого треугольника к данному равен $\sqrt{2}$. Это означает, что стороны треугольника $A_1B_1C_1$ должны быть в $\sqrt{2}$ раз длиннее соответствующих сторон треугольника $ABC$.

$A_1B_1 = AB \cdot \sqrt{2}$
$B_1C_1 = BC \cdot \sqrt{2}$
$A_1C_1 = AC \cdot \sqrt{2}$

Для построения искомого треугольника удобно использовать метод гомотетии (преобразования подобия) с центром в одной из вершин исходного треугольника, например, в вершине $A$. В этом случае искомый треугольник будет иметь вид $AB_1C_1$, где точки $B_1$ и $C_1$ лежат на лучах $AB$ и $AC$ соответственно.

Ключевой задачей построения является построение отрезка длиной $x\sqrt{2}$, имея отрезок длиной $x$. Это можно сделать, построив прямоугольный равнобедренный треугольник с катетом $x$. Его гипотенуза по теореме Пифагора будет равна $\sqrt{x^2+x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$.

Построение

1. Возьмем данный треугольник $ABC$.
2. Построим отрезок длиной $AB\sqrt{2}$. Для этого проведем через точку $A$ прямую, перпендикулярную отрезку $AB$.
3. На этой перпендикулярной прямой отложим с помощью циркуля отрезок $AD$, равный $AB$.
4. Соединим точки $D$ и $B$. Получим прямоугольный равнобедренный треугольник $ADB$ с прямым углом $A$. Длина его гипотенузы $DB$ равна $AB\sqrt{2}$.
5. На луче $AB$ отложим от точки $A$ отрезок $AB_1$, равный отрезку $DB$. Для этого используем циркуль: установим ножку в точку $A$, а карандаш — в точку $B_1$ на луче $AB$ так, чтобы $AB_1 = DB$. Таким образом, $AB_1 = AB\sqrt{2}$.
6. Аналогично построим на луче $AC$ точку $C_1$. На той же прямой, перпендикулярной $AB$ и проходящей через $A$, отложим отрезок $AE$, равный $AC$.
7. Соединим точки $E$ и $C$. Длина гипотенузы $EC$ в прямоугольном треугольнике $AEC$ будет равна $AC\sqrt{2}$.
8. На луче $AC$ отложим от точки $A$ отрезок $AC_1$, равный отрезку $EC$. Таким образом, $AC_1 = AC\sqrt{2}$.
9. Соединим точки $B_1$ и $C_1$.

Полученный треугольник $AB_1C_1$ является искомым треугольником.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $AB_1C_1$ и исходный треугольник $ABC$.

• Угол $\angle BAC$ у них общий.
• По построению, стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $\frac{AB_1}{AB} = \frac{AB\sqrt{2}}{AB} = \sqrt{2}$ и $\frac{AC_1}{AC} = \frac{AC\sqrt{2}}{AC} = \sqrt{2}$.

Следовательно, по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \sqrt{2}$.

Отношение площадей этих треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Это означает, что $S_{AB_1C_1} = 2 \cdot S_{ABC}$. Таким образом, построенный треугольник $AB_1C_1$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый треугольник строится методом гомотетии с центром в одной из вершин исходного треугольника (например, $A$) и коэффициентом $k=\sqrt{2}$. Для этого на лучах $AB$ и $AC$ строятся новые вершины $B_1$ и $C_1$ так, что $AB_1 = AB\sqrt{2}$ и $AC_1 = AC\sqrt{2}$. Длины $AB\sqrt{2}$ и $AC\sqrt{2}$ строятся как гипотенузы прямоугольных равнобедренных треугольников с катетами $AB$ и $AC$ соответственно.