Номер 1343, страница 355 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1343, страница 355.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№1343 (с. 355)
Условие. №1343 (с. 355)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 355, номер 1343, Условие

1343 При данном движении каждая из вершин треугольника ABC отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.

Решение 1. №1343 (с. 355)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 355, номер 1343, Решение 1
Решение 10. №1343 (с. 355)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 355, номер 1343, Решение 10 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 355, номер 1343, Решение 10 (продолжение 2)
Решение 11. №1343 (с. 355)

Пусть $f$ — данное движение (изометрия) плоскости. По условию, для вершин треугольника $ABC$ выполняются равенства: $f(A) = A$, $f(B) = B$ и $f(C) = C$. Это означает, что точки $A$, $B$ и $C$ являются неподвижными точками этого движения. Требуется доказать, что любая точка плоскости является неподвижной, то есть для любой точки $M$ на плоскости выполняется $f(M) = M$. Такое движение называется тождественным преобразованием.

Рассмотрим произвольную точку $M$ на плоскости. Пусть ее образом при движении $f$ является точка $M'$, то есть $f(M) = M'$.

По определению, движение (изометрия) — это преобразование, сохраняющее расстояния между точками. Следовательно, расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами. Применим это свойство для пар точек $(A, M)$, $(B, M)$ и $(C, M)$.

Расстояние между $A$ и $M$ равно расстоянию между их образами $f(A)$ и $f(M)$. Так как $f(A) = A$ и $f(M) = M'$, то $AM = AM'$.
Аналогично, для пары точек $(B, M)$ имеем $BM = f(B)f(M) = BM'$.
И для пары точек $(C, M)$ имеем $CM = f(C)f(M) = CM'$.

Таким образом, точка $M'$ находится на тех же расстояниях от точек $A$, $B$ и $C$, что и точка $M$.

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что существует хотя бы одна точка $M$, которая не отображается на себя, то есть $M \neq M'$.

Рассмотрим равенство $AM = AM'$. Оно означает, что точка $A$ равноудалена от концов отрезка $MM'$. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, — это его серединный перпендикуляр. Следовательно, точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $MM'$.

Аналогично, из равенства $BM = BM'$ следует, что точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $MM'$. Из равенства $CM = CM'$ следует, что и точка $C$ лежит на том же самом серединном перпендикуляре к отрезку $MM'$.

Таким образом, если наше предположение $M \neq M'$ верно, то все три точки $A$, $B$ и $C$ должны лежать на одной прямой — серединном перпендикуляре к отрезку $MM'$. Однако по условию задачи $A$, $B$ и $C$ являются вершинами треугольника, а это значит, что они не могут лежать на одной прямой (неколлинеарны).

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что $M \neq M'$, было неверным. Значит, для любой точки $M$ на плоскости должно выполняться равенство $M = M'$, то есть $f(M) = M$.

Это доказывает, что данное движение является тождественным преобразованием, и любая точка плоскости отображается на себя.

Ответ: Утверждение доказано. Движение, при котором три точки, не лежащие на одной прямой, остаются неподвижными, является тождественным преобразованием, то есть отображает каждую точку плоскости на себя.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1343 расположенного на странице 355 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1343 (с. 355), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться