Номер 1343, страница 355 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1343, страница 355.
№1343 (с. 355)
Условие. №1343 (с. 355)
скриншот условия

1343 При данном движении каждая из вершин треугольника ABC отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.
Решение 1. №1343 (с. 355)

Решение 10. №1343 (с. 355)


Решение 11. №1343 (с. 355)
Пусть $f$ — данное движение (изометрия) плоскости. По условию, для вершин треугольника $ABC$ выполняются равенства: $f(A) = A$, $f(B) = B$ и $f(C) = C$. Это означает, что точки $A$, $B$ и $C$ являются неподвижными точками этого движения. Требуется доказать, что любая точка плоскости является неподвижной, то есть для любой точки $M$ на плоскости выполняется $f(M) = M$. Такое движение называется тождественным преобразованием.
Рассмотрим произвольную точку $M$ на плоскости. Пусть ее образом при движении $f$ является точка $M'$, то есть $f(M) = M'$.
По определению, движение (изометрия) — это преобразование, сохраняющее расстояния между точками. Следовательно, расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами. Применим это свойство для пар точек $(A, M)$, $(B, M)$ и $(C, M)$.
Расстояние между $A$ и $M$ равно расстоянию между их образами $f(A)$ и $f(M)$. Так как $f(A) = A$ и $f(M) = M'$, то $AM = AM'$.
Аналогично, для пары точек $(B, M)$ имеем $BM = f(B)f(M) = BM'$.
И для пары точек $(C, M)$ имеем $CM = f(C)f(M) = CM'$.
Таким образом, точка $M'$ находится на тех же расстояниях от точек $A$, $B$ и $C$, что и точка $M$.
Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что существует хотя бы одна точка $M$, которая не отображается на себя, то есть $M \neq M'$.
Рассмотрим равенство $AM = AM'$. Оно означает, что точка $A$ равноудалена от концов отрезка $MM'$. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, — это его серединный перпендикуляр. Следовательно, точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $MM'$.
Аналогично, из равенства $BM = BM'$ следует, что точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $MM'$. Из равенства $CM = CM'$ следует, что и точка $C$ лежит на том же самом серединном перпендикуляре к отрезку $MM'$.
Таким образом, если наше предположение $M \neq M'$ верно, то все три точки $A$, $B$ и $C$ должны лежать на одной прямой — серединном перпендикуляре к отрезку $MM'$. Однако по условию задачи $A$, $B$ и $C$ являются вершинами треугольника, а это значит, что они не могут лежать на одной прямой (неколлинеарны).
Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что $M \neq M'$, было неверным. Значит, для любой точки $M$ на плоскости должно выполняться равенство $M = M'$, то есть $f(M) = M$.
Это доказывает, что данное движение является тождественным преобразованием, и любая точка плоскости отображается на себя.
Ответ: Утверждение доказано. Движение, при котором три точки, не лежащие на одной прямой, остаются неподвижными, является тождественным преобразованием, то есть отображает каждую точку плоскости на себя.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1343 расположенного на странице 355 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1343 (с. 355), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.