Номер 20, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 20, страница 354.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№20 (с. 354)
Условие. №20 (с. 354)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 354, номер 20, Условие

20 Докажите, что середины всех хорд окружности, один конец которых совпадает с данной точкой, есть окружность.

Решение 1. №20 (с. 354)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 354, номер 20, Решение 1
Решение 10. №20 (с. 354)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 354, номер 20, Решение 10 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 354, номер 20, Решение 10 (продолжение 2)
Решение 11. №20 (с. 354)

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — данная точка на этой окружности.

Рассмотрим произвольную хорду $AB$, один из концов которой совпадает с точкой $A$. Пусть точка $M$ — середина этой хорды. Нам необходимо доказать, что геометрическое место точек $M$ есть окружность.

Соединим центр окружности $O$ с концами хорды, точками $A$ и $B$. Получим треугольник $\triangle OAB$. В этом треугольнике стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы одной окружности ($OA = OB = R$). Следовательно, треугольник $\triangle OAB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Отрезок $OM$ соединяет вершину $O$ с серединой основания $M$. Таким образом, $OM$ является медианой треугольника $\triangle OAB$. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $OM \perp AB$, а значит, угол $\angle OMA = 90^\circ$.

Это утверждение справедливо для любой хорды $AB$, проведенной из точки $A$.

  • Если хорда $AB$ является диаметром, то ее середина $M$ совпадает с центром $O$, и точка $M$ лежит на отрезке $OA$, а угол $\angle OMA$ можно считать прямым (так как $M=O$).
  • Если точка $B$ совпадает с $A$, то хорда вырождается в точку $A$, и ее середина — сама точка $A$.

Во всех случаях для середины $M$ хорды $AB$ выполняется условие, что угол $\angle OMA$ прямой. Геометрическое место точек $M$, из которых отрезок $OA$ виден под прямым углом, есть окружность, построенная на отрезке $OA$ как на диаметре.

Теперь докажем обратное: любая точка на этой новой окружности является серединой некоторой хорды, выходящей из $A$. Пусть $M'$ — любая точка на окружности с диаметром $OA$. Тогда по свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, $\angle OM'A = 90^\circ$. Проведем прямую через точки $A$ и $M'$ до пересечения с исходной окружностью в точке $B'$. Получим хорду $AB'$. Так как отрезок $OM'$ перпендикулярен хорде $AB'$, то по свойству радиуса, перпендикулярного хорде, $OM'$ делит хорду $AB'$ пополам. Следовательно, $M'$ является серединой хорды $AB'$.

Таким образом, мы доказали, что множество середин всех хорд, выходящих из точки $A$, в точности совпадает с множеством точек окружности, построенной на отрезке $OA$ как на диаметре.

Ответ: Множество середин всех хорд окружности, один конец которых совпадает с данной точкой $A$, есть окружность, диаметром которой является отрезок $OA$, где $O$ — центр исходной окружности.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 20 расположенного на странице 354 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №20 (с. 354), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться