Номер 20, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 20, страница 354.
№20 (с. 354)
Условие. №20 (с. 354)
скриншот условия

20 Докажите, что середины всех хорд окружности, один конец которых совпадает с данной точкой, есть окружность.
Решение 1. №20 (с. 354)

Решение 10. №20 (с. 354)


Решение 11. №20 (с. 354)
Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — данная точка на этой окружности.
Рассмотрим произвольную хорду $AB$, один из концов которой совпадает с точкой $A$. Пусть точка $M$ — середина этой хорды. Нам необходимо доказать, что геометрическое место точек $M$ есть окружность.
Соединим центр окружности $O$ с концами хорды, точками $A$ и $B$. Получим треугольник $\triangle OAB$. В этом треугольнике стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы одной окружности ($OA = OB = R$). Следовательно, треугольник $\triangle OAB$ является равнобедренным с основанием $AB$.
Отрезок $OM$ соединяет вершину $O$ с серединой основания $M$. Таким образом, $OM$ является медианой треугольника $\triangle OAB$. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $OM \perp AB$, а значит, угол $\angle OMA = 90^\circ$.
Это утверждение справедливо для любой хорды $AB$, проведенной из точки $A$.
- Если хорда $AB$ является диаметром, то ее середина $M$ совпадает с центром $O$, и точка $M$ лежит на отрезке $OA$, а угол $\angle OMA$ можно считать прямым (так как $M=O$).
- Если точка $B$ совпадает с $A$, то хорда вырождается в точку $A$, и ее середина — сама точка $A$.
Во всех случаях для середины $M$ хорды $AB$ выполняется условие, что угол $\angle OMA$ прямой. Геометрическое место точек $M$, из которых отрезок $OA$ виден под прямым углом, есть окружность, построенная на отрезке $OA$ как на диаметре.
Теперь докажем обратное: любая точка на этой новой окружности является серединой некоторой хорды, выходящей из $A$. Пусть $M'$ — любая точка на окружности с диаметром $OA$. Тогда по свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, $\angle OM'A = 90^\circ$. Проведем прямую через точки $A$ и $M'$ до пересечения с исходной окружностью в точке $B'$. Получим хорду $AB'$. Так как отрезок $OM'$ перпендикулярен хорде $AB'$, то по свойству радиуса, перпендикулярного хорде, $OM'$ делит хорду $AB'$ пополам. Следовательно, $M'$ является серединой хорды $AB'$.
Таким образом, мы доказали, что множество середин всех хорд, выходящих из точки $A$, в точности совпадает с множеством точек окружности, построенной на отрезке $OA$ как на диаметре.
Ответ: Множество середин всех хорд окружности, один конец которых совпадает с данной точкой $A$, есть окружность, диаметром которой является отрезок $OA$, где $O$ — центр исходной окружности.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 20 расположенного на странице 354 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №20 (с. 354), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.