Номер 18, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 18, страница 354.

18 Сформулируйте и докажите теорему о квадрате отрезка касательной к окружности.

Формулировка теоремы (Теорема о касательной и секущей)

Если из точки, лежащей вне окружности, к ней проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной от этой точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от этой точки до точек её пересечения с окружностью.

Пусть из точки $P$ к окружности проведена касательная $PT$ (где $T$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (при этом точка $A$ лежит между точками $P$ и $B$). Тогда справедливо равенство: $PT^2 = PA \cdot PB$.

Доказательство

Рассмотрим треугольники $\triangle PAT$ и $\triangle PTB$. Докажем, что они подобны.

1. Угол при вершине $P$, то есть $\angle AP T$ (или $\angle BPT$), является общим для обоих треугольников.

2. Угол $\angle PTA$ образован касательной $PT$ и хордой $AT$. По теореме об угле между касательной и хордой, его величина равна половине угловой меры дуги $AT$, заключенной внутри этого угла.

3. Угол $\angle PBT$ (или $\angle ABT$) является вписанным в окружность углом, который опирается на ту же дугу $AT$. Следовательно, его величина также равна половине угловой меры дуги $AT$.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что углы $\angle PTA$ и $\angle PBT$ равны: $\angle PTA = \angle PBT$.

Таким образом, треугольники $\triangle PAT$ и $\triangle PTB$ имеют по два равных угла ($\angle P$ — общий, и $\angle PTA = \angle PBT$). Следовательно, треугольники $\triangle PAT$ и $\triangle PTB$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников ($\triangle PAT \sim \triangle PTB$) следует пропорциональность их соответственных сторон. Сопоставим соответственные вершины: вершине $P$ соответствует $P$, вершине $A$ соответствует $T$, вершине $T$ соответствует $B$. Запишем пропорцию для соответственных сторон: $ \frac{PA}{PT} = \frac{PT}{PB} $

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $ PT \cdot PT = PA \cdot PB $
$ PT^2 = PA \cdot PB $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Квадрат отрезка касательной, проведенной из точки к окружности, равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки, от этой точки до точек пересечения с окружностью. Если $PT$ — отрезок касательной, а $PAB$ — секущая (где $A$ и $B$ — точки пересечения с окружностью), то $PT^2 = PA \cdot PB$.