Номер 17, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 17, страница 354.
№17 (с. 354)
Условие. №17 (с. 354)
скриншот условия

17 Сформулируйте и докажите теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности.
Решение 1. №17 (с. 354)

Решение 10. №17 (с. 354)


Решение 11. №17 (с. 354)
Формулировка теоремы
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению отрезков, на которые она делит другую хорду.
Для хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в точке $P$, это свойство выражается формулой: $AP \cdot PB = CP \cdot DP$.
Доказательство
Пусть в окружности хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Соединим концы хорд так, чтобы получились треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$.
Рассмотрим эти треугольники и докажем их подобие.
Угол $\angle APC$ равен углу $\angle DPB$, так как они являются вертикальными.
Угол $\angle PAC$ (или $\angle BAC$) равен углу $\angle PDB$ (или $\angle CDB$), так как оба являются вписанными углами, которые опираются на одну и ту же дугу $CB$.
Поскольку два угла треугольника $\triangle APC$ соответственно равны двум углам треугольника $\triangle DPB$, эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).
Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон. Соответственными являются стороны, лежащие против равных углов. В наших треугольниках: - Сторона $AP$ лежит против угла $\angle ACP$, а сторона $DP$ — против равного ему угла $\angle DBP$. - Сторона $CP$ лежит против угла $\angle PAC$, а сторона $PB$ — против равного ему угла $\angle PDB$.
Следовательно, мы можем записать соотношение для соответственных сторон: $\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{PB}$
Применяя к этой пропорции правило перекрестного умножения, получаем искомое равенство: $AP \cdot PB = CP \cdot DP$
Теорема доказана.
Ответ: Для двух хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в точке $P$, произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой: $AP \cdot PB = CP \cdot DP$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 17 расположенного на странице 354 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №17 (с. 354), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.