Номер 1344, страница 355 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1344, страница 355.

1344 Докажите, что два прямоугольника равны, если: а) смежные стороны одного прямоугольника соответственно равны смежным сторонам другого; б) сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого.

а)

Рассмотрим два прямоугольника, $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. По условию, их смежные стороны соответственно равны. Пусть $AB$ и $BC$ — смежные стороны первого прямоугольника, а $A_1B_1$ и $B_1C_1$ — второго. Тогда $AB = A_1B_1$ и $BC = B_1C_1$.

По свойству прямоугольника, его противоположные стороны равны. Для прямоугольника $ABCD$ это означает, что $CD = AB$ и $AD = BC$. Аналогично для прямоугольника $A_1B_1C_1D_1$ имеем $C_1D_1 = A_1B_1$ и $A_1D_1 = B_1C_1$.

Сопоставляя эти равенства с условием, получаем, что все соответствующие стороны двух прямоугольников равны: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $CD = AB = A_1B_1 = C_1D_1$ и $AD = BC = B_1C_1 = A_1D_1$.

Кроме того, все углы любого прямоугольника равны $90^\circ$. Таким образом, у данных прямоугольников равны все соответствующие стороны и все соответствующие углы. По определению равенства многоугольников (две фигуры равны, если их можно совместить наложением), такие прямоугольники равны.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Рассмотрим два прямоугольника, $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. По условию, сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого. Пусть сторона $AB$ и диагональ $AC$ первого прямоугольника равны стороне $A_1B_1$ и диагонали $A_1C_1$ второго, то есть $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, образованный сторонами $AB$, $BC$ и диагональю $AC$. Угол $\angle B = 90^\circ$, так как это угол прямоугольника. По теореме Пифагора, $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Отсюда можно выразить сторону $BC$:

$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2}$

Аналогично, в прямоугольнике $A_1B_1C_1D_1$ для прямоугольного треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ справедливо:

$B_1C_1 = \sqrt{A_1C_1^2 - A_1B_1^2}$

Так как по условию $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$, то правые части выражений для $BC$ и $B_1C_1$ равны. Следовательно, равны и левые части: $BC = B_1C_1$.

Таким образом, мы свели задачу к пункту а): смежные стороны прямоугольников соответственно равны ($AB = A_1B_1$ и $BC = B_1C_1$). Как было доказано, в этом случае прямоугольники равны.

Ответ: Утверждение доказано.