Номер 1345, страница 355 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1345, страница 355.

1345 На каждом из рисунков 414, а и б изображены два подобных многоугольника. Найдите x, y, z, α и β.

a)

По определению, подобные многоугольники имеют соответственно равные углы и пропорциональные соответственные стороны. Обозначим многоугольники как M1 (верхний) и M2 (нижний).

1. Нахождение углов ? и ?.

В подобных многоугольниках соответственные углы равны. Углы с одинаковыми обозначениями (одинаковым количеством дуг) являются соответственными.

• Угол с одной дугой в M1 соответствует углу с одной дугой в M2. В M2 этот угол равен $110°$. Следовательно, угол с одной дугой в M1 также равен $110°$.
• Угол с двумя дугами в M1 соответствует углу с двумя дугами в M2.
• Оставшиеся два угла в M1 ($60°$ и $?$) должны соответствовать оставшимся двум углам в M2 ($?$ и угол с тремя дугами, который мы обозначим как $?$).

Для однозначного определения соответствия проследим последовательность сторон и углов по часовой стрелке.
Для M1, начиная с угла с одной дугой: (1 дуга) > сторона 12 > (2 дуги) > сторона 18 > (угол $?$) > сторона 15 > (угол $60°$) > сторона 21 > (1 дуга).
Для M2, начиная с угла $?$: ($?$) > сторона y > (2 дуги) > сторона z > ($?$, 3 дуги) > сторона 8 > ($110°$, 1 дуга) > сторона x > ($?$).

Видно, что многоугольники имеют разную ориентацию (один является зеркальным отражением другого). Сравним последовательность M1 по часовой стрелке с последовательностью M2 против часовой стрелки, начиная с соответственных углов (с одной дугой):
M1 (по часовой стрелке): (1 дуга) > 12 > (2 дуги) > 18 > ($?$) > 15 > ($60°$) > 21.
M2 (против часовой стрелки): ($110°$, 1 дуга) > 8 > ($?$) > z > (2 дуги) > y > ($?$) > x.

Сопоставляя последовательности, получаем соответствие углов:
Угол (2 дуги) в M1 соответствует углу $?$ в M2.
Угол $?$ в M1 соответствует углу (2 дуги) в M2.
Угол $60°$ в M1 соответствует углу $?$ в M2, то есть $? = 60°$.
Поскольку углы, отмеченные двумя дугами, соответственны, они равны. Из соответствия $?$ = (2 дуги) и $?$ = (2 дуги) следует, что $? = ?$.

Сумма углов четырехугольника равна $360°$. Для M2:
$? + (2 \text{ дуги}) + ? + 110° = 360°$
Подставляем $? = 60°$ и (2 дуги) = $?$:
$? + ? + 60° + 110° = 360°$
$2? + 170° = 360°$
$2? = 190°$
$? = 95°$.
Так как $? = ?$, то $? = 95°$.

2. Нахождение сторон x, y, z.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон. Найдем пару известных соответственных сторон. Сторона между углами (1 дуга) и (2 дуги) в M1 равна 12. Соответственная сторона в M2 находится между углами ($110°$) и ($?$), и ее длина равна x.
Сторона между углами ($60°$) и (1 дуга) в M1 равна 21. Соответственная сторона в M2 находится между углами ($? = 60°$) и ($110°$), и ее длина равна 8.
Следовательно, коэффициент подобия $k$ (отношение стороны M1 к стороне M2) равен:
$k = \frac{21}{8}$.

Теперь найдем неизвестные стороны, используя этот коэффициент:
Соответственные стороны: 12 и x. $k = \frac{12}{x} \Rightarrow \frac{21}{8} = \frac{12}{x} \Rightarrow x = \frac{12 \cdot 8}{21} = \frac{96}{21} = \frac{32}{7}$.
Соответственные стороны: 18 (между $?$ и 2 дугами) и y (между 2 дугами и $?$). $k = \frac{18}{y} \Rightarrow \frac{21}{8} = \frac{18}{y} \Rightarrow y = \frac{18 \cdot 8}{21} = \frac{144}{21} = \frac{48}{7}$.
Соответственные стороны: 15 (между $60°$ и $?$) и z (между $?=60°$ и 2 дугами). $k = \frac{15}{z} \Rightarrow \frac{21}{8} = \frac{15}{z} \Rightarrow z = \frac{15 \cdot 8}{21} = \frac{120}{21} = \frac{40}{7}$.

Ответ: $x = \frac{32}{7}$, $y = \frac{48}{7}$, $z = \frac{40}{7}$, $? = 95°$, $? = 95°$.

б)

Аналогично пункту а), используем свойства подобных многоугольников. Обозначим многоугольники как M3 (верхний) и M4 (нижний).

1. Нахождение углов ? и ?.

Углы с одинаковыми обозначениями (дугами) соответственны и равны. Оставшиеся углы многоугольника M3 ($50°$ и $?$) должны быть равны оставшимся углам многоугольника M4 ($?$ и $70°$). Отсюда возможны два варианта:
1) $? = 50°$ и $? = 70°$
2) $? = 70°$ и $? = 50°$

Чтобы определить верный вариант, проследим последовательность сторон и углов по часовой стрелке.
Для M3: ($50°$) > сторона 27 > (2 дуги) > сторона 18 > ($?$) > сторона 21 > (1 дуга) > сторона y > ($50°$).
Для M4: ($?$) > сторона z > (2 дуги) > сторона 12 > ($70°$) > сторона x > (1 дуга) > сторона 18 > ($?$).

Сравним последовательности, начиная с угла с двумя дугами.
M3: (2 дуги) > 18 > ($?$) > 21 > (1 дуга) > y > ($50°$) > 27.
M4: (2 дуги) > 12 > ($70°$) > x > (1 дуга) > 18 > ($?$) > z.

Сопоставляя углы, идущие после сторон 18 и 12, получаем: $?$ соответствует $70°$.
Сопоставляя углы, идущие после сторон y и 18, получаем: $50°$ соответствует $?$.
Следовательно, верным является первый вариант: $? = 50°$ и $? = 70°$.

2. Нахождение сторон x, y, z.

Найдем коэффициент подобия $k$. Сторона между углами (2 дуги) и $?$ в M3 равна 18. Соответственная сторона в M4 находится между углами (2 дуги) и $70°$, ее длина равна 12.
Коэффициент подобия $k$ (отношение стороны M3 к стороне M4) равен:
$k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

Теперь найдем неизвестные стороны:
Сторона y в M3 (между 1 дугой и $50°$) соответствует стороне 18 в M4 (между 1 дугой и $? = 50°$).
$k = \frac{y}{18} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{y}{18} \Rightarrow y = \frac{3 \cdot 18}{2} = 27$.
Сторона 21 в M3 (между $? = 70°$ и 1 дугой) соответствует стороне x в M4 (между $70°$ и 1 дугой).
$k = \frac{21}{x} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{21}{x} \Rightarrow 3x = 42 \Rightarrow x = 14$.
Сторона 27 в M3 (между $50°$ и 2 дугами) соответствует стороне z в M4 (между $? = 50°$ и 2 дугами).
$k = \frac{27}{z} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{27}{z} \Rightarrow 3z = 54 \Rightarrow z = 18$.

Ответ: $x = 14$, $y = 27$, $z = 18$, $? = 50°$, $? = 70°$.