Номер 1351, страница 356 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1351, страница 356.

1351 Начертите два неравных отрезка АВ и А₁В₁, лежащих на параллельных прямых. Постройте центр такой гомотетии, при котором отрезок АВ переходит в отрезок А₁В₁. Сколько решений имеет задача?

Гомотетия — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M_1$ такую, что $\vec{OM_1} = k \cdot \vec{OM}$, где $O$ — фиксированная точка, называемая центром гомотетии, а $k$ — ненулевое число, называемое коэффициентом гомотетии.

Для того чтобы при гомотетии отрезок $AB$ перешел в отрезок $A_1B_1$, необходимо, чтобы концы отрезка $AB$ перешли в концы отрезка $A_1B_1$. Это может произойти двумя способами, что приводит к двум возможным центрам гомотетии.

Случай 1: Построение первого центра гомотетии

Предположим, что гомотетия отображает точку $A$ в точку $A_1$, а точку $B$ в точку $B_1$. Согласно определению гомотетии, ее центр $O_1$ должен лежать на прямой, проходящей через любую точку и ее образ. Следовательно, центр $O_1$ должен одновременно принадлежать прямой $AA_1$ и прямой $BB_1$.

Построение:

1. Начертим на двух параллельных прямых два неравных отрезка $AB$ и $A_1B_1$.
2. Проведем прямую через точки $A$ и $A_1$.
3. Проведем прямую через точки $B$ и $B_1$.
4. Точка пересечения этих прямых $O_1 = AA_1 \cap BB_1$ и будет первым центром гомотетии.

Так как отрезки $AB$ и $A_1B_1$ лежат на параллельных прямых и их длины не равны ($|AB| \neq |A_1B_1|$), четырехугольник $AA_1B_1B$ является трапецией. Прямые $AA_1$ и $BB_1$ — это ее боковые стороны. Боковые стороны трапеции (не являющейся параллелограммом) всегда пересекаются в одной точке. Следовательно, такой центр гомотетии $O_1$ всегда существует и он единственный для данного случая.

Случай 2: Построение второго центра гомотетии

Теперь предположим, что гомотетия отображает точку $A$ в точку $B_1$, а точку $B$ в точку $A_1$. В этом случае центр гомотетии $O_2$ должен лежать на прямой $AB_1$ и одновременно на прямой $BA_1$.

Построение:

1. На тех же отрезках $AB$ и $A_1B_1$ проведем прямую через точки $A$ и $B_1$.
2. Проведем прямую через точки $B$ и $A_1$.
3. Точка пересечения этих прямых $O_2 = AB_1 \cap BA_1$ и будет вторым возможным центром гомотетии.

В данном случае четырехугольник $AB_1A_1B$ также является трапецией, так как его основания $AB$ и $A_1B_1$ лежат на параллельных прямых и не равны. Прямые $AB_1$ и $BA_1$ являются его боковыми сторонами, которые пересекаются в единственной точке $O_2$. Таким образом, второй центр гомотетии также всегда существует и он единственный.

Поскольку существует два различных способа сопоставить концы отрезков, и каждый из них однозначно определяет центр гомотетии, задача имеет два решения. Один из центров будет лежать между параллельными прямыми (соответствует гомотетии с отрицательным коэффициентом), а другой — вне полосы, образованной этими прямыми (соответствует гомотетии с положительным коэффициентом).

Ответ: Задача имеет два решения. Существует два центра гомотетии.