Номер 1358, страница 356 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1358, страница 356.

1358 Пусть точка О — точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны данной трапеции. Используя гомотетию с центром в точке О, докажите, что точка О лежит на прямой, проходящей через середины оснований трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$. Пусть $M$ — середина основания $BC$, а $N$ — середина основания $AD$. Прямые, содержащие боковые стороны $AB$ и $CD$, пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим гомотетию $H$ с центром в точке $O$. Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то треугольники $\triangle OBC$ и $\triangle OAD$ подобны. Это означает, что существует гомотетия с центром $O$, которая переводит треугольник $\triangle OBC$ в треугольник $\triangle OAD$.

Коэффициент этой гомотетии $k$ равен отношению длин соответственных сторон, например, $k = \frac{AD}{BC}$. При этой гомотетии $H$ вершина $B$ переходит в вершину $A$ ($H(B) = A$), а вершина $C$ переходит в вершину $D$ ($H(C) = D$). Следовательно, отрезок $BC$ (одно основание трапеции) переходит в отрезок $AD$ (другое основание).

Воспользуемся свойством гомотетии, согласно которому образ середины отрезка является серединой образа этого отрезка. Точка $M$ является серединой отрезка $BC$. Ее образ при гомотетии $H$, точка $H(M)$, должен быть серединой образа отрезка $BC$, то есть серединой отрезка $AD$.

Серединой отрезка $AD$ по условию является точка $N$. Таким образом, мы получаем, что $H(M) = N$.

По определению гомотетии, для любой точки $P$, ее образ $P' = H(P)$ лежит на прямой, проходящей через центр гомотетии $O$ и саму точку $P$. То есть, точки $O$, $P$ и $P'$ коллинеарны.

Применив это свойство к точке $M$ и ее образу $N$, мы заключаем, что точки $O$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Это означает, что точка $O$ лежит на прямой, проходящей через середины оснований трапеции, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Гомотетия с центром в точке пересечения продолжений боковых сторон трапеции переводит середину одного основания в середину другого. По определению гомотетии, центр преобразования, прообраз и образ лежат на одной прямой. Следовательно, точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны, и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.