Номер 1356, страница 356 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1356, страница 356.

1356 В трапеции с основаниями MN и PQ диагонали MP и NQ пересекаются в точке О. Используя предыдущую задачу, докажите, что окружности, описанные около треугольников MNО и PQО, имеют общую касательную в точке О.

Рассмотрим трапецию с основаниями $MN$ и $PQ$. По условию, её диагонали $MP$ и $NQ$ пересекаются в точке $O$.

1. Подобие треугольников.Поскольку $MN$ и $PQ$ — основания трапеции, то $MN \parallel PQ$. Рассмотрим треугольники $\triangle MNO$ и $\triangle PQO$.

• $\angle MON = \angle POQ$ (как вертикальные углы).
• $\angle MNO = \angle PQO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $MN$ и $PQ$ и секущей $NQ$).
• $\angle NMO = \angle QPO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $MN$ и $PQ$ и секущей $MP$).

Следовательно, $\triangle MNO \sim \triangle PQO$ по трём углам.

2. Гомотетия.Поскольку треугольники подобны, а их соответствующие вершины лежат на прямых, пересекающихся в одной точке ($M, O, P$ на прямой $MP$; $N, O, Q$ на прямой $NQ$), треугольник $\triangle PQO$ является образом треугольника $\triangle MNO$ при гомотетии с центром в точке $O$. Коэффициент гомотетии $k$ равен $k = -\frac{OP}{OM} = -\frac{OQ}{ON}$. Знак «минус» означает, что соответствующие вершины лежат по разные стороны от центра гомотетии $O$.Обозначим эту гомотетию как $H(O, k)$.

3. Образы окружностей и касательных.Пусть $\omega_1$ — окружность, описанная около $\triangle MNO$, а $\omega_2$ — окружность, описанная около $\triangle PQO$.Гомотетия переводит окружность в окружность. Так как гомотетия $H(O, k)$ переводит точки $M, N, O$ в точки $P, Q, O$ (точка $O$ как центр гомотетии переходит сама в себя), то она переводит окружность $\omega_1$, проходящую через точки $M, N, O$, в окружность $\omega_2$, проходящую через точки $P, Q, O$. Таким образом, $H(\omega_1) = \omega_2$.

Пусть $t$ — касательная к окружности $\omega_1$ в точке $O$. Согласно свойству гомотетии, образ касательной к фигуре является касательной к образу фигуры. Значит, образ прямой $t$, то есть $H(t)$, должен быть касательной к окружности $\omega_2$ в образе точки касания, то есть в точке $H(O)$.

Поскольку касательная $t$ проходит через центр гомотетии $O$, её образом является сама прямая $t$, то есть $H(t)=t$.Образом точки касания $O$ является сама точка $O$, так как $O$ — центр гомотетии, то есть $H(O)=O$.

Из этого следует, что прямая $t$ является касательной к окружности $\omega_2$ в точке $O$.

4. Вывод.Мы показали, что касательная $t$ к окружности $\omega_1$ в точке $O$ также является касательной к окружности $\omega_2$ в той же точке $O$. Это означает, что окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ имеют общую касательную в точке $O$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что окружности, описанные около треугольников $MNO$ и $PQO$, имеют общую касательную в точке $O$, доказано.