Номер 1357, страница 356 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1357, страница 356.

1357 Используя гомотетию с центром в точке пересечения медиан треугольника АВС, докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника АВС, в 2 раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника с вершинами в серединах сторон АВ, ВС и СА.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим середины его сторон $BC, CA, AB$ как $A_1, B_1, C_1$ соответственно. Треугольник $A_1B_1C_1$ является так называемым срединным треугольником для треугольника $ABC$. Пусть $M$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$. Медианы треугольника $ABC$ — это отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$.

По условию задачи, мы должны использовать гомотетию с центром в точке $M$. Наша цель — доказать, что радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, в 2 раза больше радиуса $r$ окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C_1$.

Известно свойство центроида: точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, $AM : MA_1 = 2:1$, $BM : MB_1 = 2:1$ и $CM : MC_1 = 2:1$.

Поскольку точка $M$ лежит на отрезке-медиане $AA_1$ между точками $A$ и $A_1$, векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MA_1}$ противоположно направлены. Учитывая соотношение длин $AM = 2 \cdot MA_1$, мы можем записать векторное равенство: $\vec{MA_1} = -\frac{1}{2} \vec{MA}$.

Аналогичные равенства верны и для других вершин: $\vec{MB_1} = -\frac{1}{2} \vec{MB}$ и $\vec{MC_1} = -\frac{1}{2} \vec{MC}$.

Эти равенства по определению означают, что треугольник $A_1B_1C_1$ является образом треугольника $ABC$ при гомотетии $H$ с центром в точке $M$ и коэффициентом $k = -\frac{1}{2}$. То есть, $H(A) = A_1$, $H(B) = B_1$, $H(C) = C_1$.

При гомотетии любая окружность переходит в окружность. Следовательно, описанная окружность $\Omega$ треугольника $ABC$ (с радиусом $R$) при этой гомотетии перейдет в описанную окружность $\omega$ треугольника $A_1B_1C_1$ (с радиусом $r$).

Радиус образа окружности при гомотетии связан с радиусом исходной окружности формулой $r = |k| \cdot R$, где $k$ — коэффициент гомотетии.

Подставляя значение нашего коэффициента $k = -\frac{1}{2}$, получаем: $r = |-\frac{1}{2}| \cdot R = \frac{1}{2}R$.

Из этого соотношения напрямую следует, что $R = 2r$.

Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, в 2 раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника с вершинами в серединах его сторон.

Ответ: Утверждение доказано. Используя гомотетию с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом $k = -1/2$, мы показали, что треугольник, образованный серединами сторон, является образом исходного треугольника. Следовательно, радиус его описанной окружности $r$ связан с радиусом $R$ описанной окружности исходного треугольника соотношением $r = |k| \cdot R = \frac{1}{2}R$, откуда $R=2r$.