Страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

5 Сформулируйте и докажите теорему о площадях подобных многоугольников.

Формулировка теоремы

Отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату их коэффициента подобия.

Если многоугольник $P$ подобен многоугольнику $P'$ ($P \sim P'$) с коэффициентом подобия $k$, а их площади равны $S$ и $S'$ соответственно, то выполняется равенство:

$\frac{S}{S'} = k^2$

Доказательство теоремы

Пусть даны два подобных n-угольника $P = A_1A_2...A_n$ и $P' = A'_1A'_2...A'_n$.

По определению подобных многоугольников, их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны:

$\angle A_1 = \angle A'_1, \angle A_2 = \angle A'_2, ..., \angle A_n = \angle A'_n$

$\frac{A_1A_2}{A'_1A'_2} = \frac{A_2A_3}{A'_2A'_3} = ... = \frac{A_nA_1}{A'_nA'_1} = k$, где $k$ — коэффициент подобия.

Разобьем каждый многоугольник на треугольники, проведя все диагонали из одной соответственной вершины, например, из $A_1$ и $A'_1$. В результате многоугольник $P$ разобьется на $n-2$ треугольника: $\triangle A_1A_2A_3, \triangle A_1A_3A_4, ..., \triangle A_1A_{n-1}A_n$. Аналогично, многоугольник $P'$ разобьется на $n-2$ треугольника: $\triangle A'_1A'_2A'_3, \triangle A'_1A'_3A'_4, ..., \triangle A'_1A'_{n-1}A'_n$.

Докажем, что полученные соответственные треугольники подобны.

1. Рассмотрим первую пару треугольников: $\triangle A_1A_2A_3$ и $\triangle A'_1A'_2A'_3$.

• У них есть равные углы: $\angle A_2 = \angle A'_2$ (из подобия многоугольников).
• Стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $\frac{A_1A_2}{A'_1A'_2} = \frac{A_2A_3}{A'_2A'_3} = k$.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle A_1A_2A_3 \sim \triangle A'_1A'_2A'_3$ с коэффициентом подобия $k$.

2. Из подобия этих треугольников следует, что $\frac{A_1A_3}{A'_1A'_3} = k$ и $\angle A_1A_3A_2 = \angle A'_1A'_3A'_2$.

3. Рассмотрим вторую пару треугольников: $\triangle A_1A_3A_4$ и $\triangle A'_1A'_3A'_4$.

• Из подобия исходных многоугольников мы знаем, что $\angle A_3 = \angle A'_3$. Тогда $\angle A_1A_3A_4 = \angle A_3 - \angle A_1A_3A_2 = \angle A'_3 - \angle A'_1A'_3A'_2 = \angle A'_1A'_3A'_4$. Таким образом, углы $\angle A_1A_3A_4$ и $\angle A'_1A'_3A'_4$ равны.
• Стороны, образующие эти углы, пропорциональны: $\frac{A_1A_3}{A'_1A'_3} = k$ (из предыдущего шага) и $\frac{A_3A_4}{A'_3A'_4} = k$ (из подобия многоугольников).

Следовательно, $\triangle A_1A_3A_4 \sim \triangle A'_1A'_3A'_4$ с тем же коэффициентом подобия $k$.

Продолжая этот процесс, мы докажем, что все $n-2$ пар соответственных треугольников подобны с одним и тем же коэффициентом подобия $k$.

Площадь многоугольника равна сумме площадей треугольников, на которые он разбит. Обозначим площади треугольников, составляющих многоугольник $P$, как $S_1, S_2, ..., S_{n-2}$, а площади соответствующих треугольников многоугольника $P'$ — как $S'_1, S'_2, ..., S'_{n-2}$.

Площадь многоугольника $P$: $S = S_1 + S_2 + ... + S_{n-2}$.

Площадь многоугольника $P'$: $S' = S'_1 + S'_2 + ... + S'_{n-2}$.

Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. Поэтому для каждой пары треугольников верно:

$\frac{S_1}{S'_1} = k^2 \implies S_1 = k^2 S'_1$

$\frac{S_2}{S'_2} = k^2 \implies S_2 = k^2 S'_2$

...

$\frac{S_{n-2}}{S'_{n-2}} = k^2 \implies S_{n-2} = k^2 S'_{n-2}$

Теперь найдем отношение площадей многоугольников:

$\frac{S}{S'} = \frac{S_1 + S_2 + ... + S_{n-2}}{S'_1 + S'_2 + ... + S'_{n-2}} = \frac{k^2 S'_1 + k^2 S'_2 + ... + k^2 S'_{n-2}}{S'_1 + S'_2 + ... + S'_{n-2}}$

Вынесем общий множитель $k^2$ в числителе:

$\frac{S}{S'} = \frac{k^2 (S'_1 + S'_2 + ... + S'_{n-2})}{S'_1 + S'_2 + ... + S'_{n-2}} = k^2$

Таким образом, $\frac{S}{S'} = k^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема гласит, что отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату их коэффициента подобия ($k$). Если $S$ и $S'$ — площади подобных многоугольников, то $\frac{S}{S'} = k^2$. Теорема доказана путем разбиения многоугольников на подобные треугольники и суммирования их площадей.

6 Какие две фигуры называются гомотетичными (центрально-подобными)?

Две фигуры $F$ и $F'$ называются гомотетичными (или центрально-подобными), если существует такое преобразование, называемое гомотетией (или центральным подобием), которое переводит одну фигуру в другую.

Гомотетия — это преобразование плоскости (или пространства), которое задается двумя параметрами: точкой $O$, называемой центром гомотетии, и действительным числом $k \neq 0$, называемым коэффициентом гомотетии.

При гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ каждая точка $M$ преобразуется в точку $M'$ таким образом, что выполняется векторное равенство:

$\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$

Из этого равенства следует, что точка-образ $M'$ всегда лежит на прямой $OM$, проходящей через центр гомотетии $O$ и точку-прообраз $M$.

• Если коэффициент $k > 0$ (прямая гомотетия), то точки $M$ и $M'$ лежат по одну сторону от центра $O$ на луче $OM$.
• Если коэффициент $k < 0$ (обратная гомотетия), то точки $M$ и $M'$ лежат по разные стороны от центра $O$.

Расстояние от центра до образа $M'$ связано с расстоянием до прообраза $M$ формулой $OM' = |k| \cdot OM$. Таким образом, гомотетия представляет собой "растяжение" или "сжатие" фигуры относительно центра $O$.

Важным свойством является то, что гомотетичные фигуры всегда подобны, а коэффициент их подобия равен модулю коэффициента гомотетии, то есть $|k|$.

Ответ: Две фигуры называются гомотетичными (центрально-подобными), если одна фигура может быть получена из другой преобразованием гомотетии. Это преобразование задается центром $O$ и коэффициентом $k \neq 0$ так, что каждая точка $M$ первой фигуры переходит в точку $M'$ второй фигуры, для которой верно векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

7 Что мы понимаем под центром гомотетии и коэффициентом гомотетии двух фигур? Может ли коэффициент гомотетии быть отрицательным?

Что мы понимаем под центром гомотетии и коэффициентом гомотетии двух фигур?

Гомотетия — это геометрическое преобразование, при котором для некоторой фиксированной точки $O$ (центра гомотетии) и некоторого ненулевого числа $k$ (коэффициента гомотетии) любая точка $M$ плоскости или пространства переходит в точку $M'$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Центр гомотетии ($O$) — это единственная неподвижная точка, относительно которой происходит преобразование. Все точки фигуры и их образы лежат на прямых, проходящих через центр гомотетии. Если фигура $F_1$ переходит в фигуру $F_2$ в результате гомотетии, то точка $O$ называется центром гомотетии этих двух фигур.

Коэффициент гомотетии ($k$) — это число, которое определяет, как изменяется расстояние от центра до точек фигуры и как ориентирован образ.

• Абсолютное значение $|k|$ показывает, во сколько раз фигура-образ больше или меньше исходной фигуры. То есть, $|k|$ — это коэффициент подобия.
• Знак коэффициента $k$ определяет расположение образа относительно центра.

Таким образом, если фигура $F'$ получена из фигуры $F$ гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k$, то для любой пары соответствующих точек $M \in F$ и $M' \in F'$ верно, что точки $O, M, M'$ лежат на одной прямой и выполняется соотношение $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Ответ: Центр гомотетии — это неподвижная точка, через которую проходят прямые, соединяющие соответственные точки двух гомотетичных фигур. Коэффициент гомотетии — это число, равное отношению расстояний от центра до соответственных точек образа и прообраза, взятое со знаком плюс или минус в зависимости от их взаимного расположения.

Может ли коэффициент гомотетии быть отрицательным?

Да, коэффициент гомотетии $k$ может быть отрицательным числом ($k < 0$). Это следует непосредственно из определения гомотетии.

Рассмотрим, что это означает геометрически:

• Если $k > 0$, то гомотетия называется прямой. Точка-образ $M'$ лежит на луче $OM$. Векторы $\vec{OM}$ и $\vec{OM'}$ сонаправлены.
• Если $k < 0$, то гомотетия называется обратной. Точка-образ $M'$ лежит на луче, дополнительном к лучу $OM$, то есть центр гомотетии $O$ находится между точкой $M$ и её образом $M'$. Векторы $\vec{OM}$ и $\vec{OM'}$ противоположно направлены.

Обратная гомотетия с коэффициентом $k$ эквивалентна выполнению двух преобразований: прямой гомотетии с коэффициентом $|k|$ и центральной симметрии относительно центра $O$.

Частным случаем является гомотетия с коэффициентом $k=-1$. В этом случае $\vec{OM'} = -1 \cdot \vec{OM}$, что является определением центральной симметрии относительно точки $O$.

Ответ: Да, может. Отрицательный коэффициент гомотетии означает, что фигура-образ не только масштабируется, но и "переворачивается" относительно центра гомотетии, располагаясь с противоположной стороны от него.

8 Что представляет собой гомотетия с коэффициентом k, если: а) k = 1, б) k = –1?

Гомотетия (или преобразование подобия) с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство: $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

а) Рассмотрим случай, когда коэффициент гомотетии $k = 1$.
Согласно определению, для любой точки $M$ её образ $M'$ определяется условием $\vec{OM'} = 1 \cdot \vec{OM}$, что равносильно $\vec{OM'} = \vec{OM}$.
Это означает, что радиус-вектор точки $M'$ равен радиус-вектору точки $M$ относительно центра гомотетии $O$. Следовательно, для любой точки $M$ её образ $M'$ совпадает с самой точкой $M$.
Преобразование, которое оставляет все точки на месте (то есть отображает каждую точку в саму себя), называется тождественным преобразованием.
Таким образом, гомотетия с коэффициентом $k=1$ является тождественным преобразованием.
Ответ: Тождественное преобразование.

б) Рассмотрим случай, когда коэффициент гомотетии $k = -1$.
Согласно определению, для любой точки $M$ её образ $M'$ определяется условием $\vec{OM'} = -1 \cdot \vec{OM}$, что равносильно $\vec{OM'} = -\vec{OM}$.
Это векторное равенство означает, что:
1. Векторы $\vec{OM'}$ и $\vec{OM}$ коллинеарны, а значит точки $M$, $O$ и $M'$ лежат на одной прямой.
2. Векторы $\vec{OM'}$ и $\vec{OM}$ противоположно направлены, значит точка $O$ лежит между точками $M$ и $M'$.
3. Длины векторов равны: $|\vec{OM'}| = |-1| \cdot |\vec{OM}| = |\vec{OM}|$. Это означает, что расстояния $OM'$ и $OM$ равны.
Из этих условий следует, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.
Преобразование, при котором каждая точка $M$ отображается в такую точку $M'$, что заданная точка $O$ является серединой отрезка $MM'$, называется центральной симметрией относительно центра $O$.
Таким образом, гомотетия с коэффициентом $k=-1$ является центральной симметрией относительно центра гомотетии.
Ответ: Центральная симметрия относительно центра гомотетии.

9 Сформулируйте основные свойства гомотетии.

Гомотетия (или преобразование подобия) с центром $O$ и коэффициентом $k$ (где $k$ — действительное число, не равное нулю) — это преобразование плоскости или пространства, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Основные свойства гомотетии:

1. Коллинеарность
Центр гомотетии $O$, любая точка $M$ (не совпадающая с $O$) и ее образ $M'$ лежат на одной прямой. Это следует непосредственно из определения $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, так как векторы $\vec{OM'}$ и $\vec{OM}$ коллинеарны. Если $k > 0$, то точки $M$ и $M'$ лежат по одну сторону от центра $O$. Если $k < 0$, то они лежат по разные стороны от $O$.
Ответ: Центр гомотетии, исходная точка и ее образ всегда лежат на одной прямой.

2. Преобразование прямых
При гомотетии любая прямая $a$ переходит в параллельную ей прямую $a'$ ($a \parallel a'$). Исключением является случай, когда прямая проходит через центр гомотетии $O$ — тогда она переходит сама в себя (является инвариантной).
Ответ: Прямая переходит либо в параллельную ей прямую, либо в себя.

3. Сохранение углов
Гомотетия сохраняет углы между прямыми. Если две прямые пересекаются под некоторым углом, то их образы при гомотетии будут пересекаться под тем же углом. Это прямое следствие того, что прямые переходят в параллельные им прямые.
Ответ: Гомотетия является конформным преобразованием, то есть сохраняет величины углов.

4. Изменение расстояний
Расстояние между образами любых двух точек $A'$ и $B'$ в $|k|$ раз отличается от расстояния между исходными точками $A$ и $B$. Математически это выражается формулой: $A'B' = |k| \cdot AB$.
Ответ: Расстояние между точками умножается на модуль коэффициента гомотетии.

5. Преобразование фигур
Гомотетия переводит любую фигуру $F$ в подобную ей фигуру $F'$. Коэффициент подобия равен $|k|$. Например, отрезок переходит в отрезок, треугольник — в подобный ему треугольник, окружность — в окружность (причем центр окружности-образа является образом центра исходной окружности, а радиус умножается на $|k|$).
Ответ: Любая фигура переходит в подобную ей фигуру с коэффициентом подобия $|k|$.

6. Изменение площадей и объемов
Площадь образа фигуры $S'$ связана с площадью исходной фигуры $S$ соотношением $S' = k^2 \cdot S$. Объем образа тела $V'$ связан с объемом исходного тела $V$ соотношением $V' = |k|^3 \cdot V$.
Ответ: Площадь фигуры изменяется в $k^2$ раз, а объем — в $|k|^3$ раз.

7. Неподвижные точки
Если коэффициент гомотетии $k \ne 1$, то единственной неподвижной точкой (точкой, которая переходит сама в себя) является центр гомотетии $O$. Если $k=1$, то гомотетия является тождественным преобразованием, и все точки плоскости (пространства) неподвижны. Если $k=-1$, гомотетия является центральной симметрией относительно центра $O$.
Ответ: При $k \ne 1$ единственной неподвижной точкой является центр гомотетии.

8. Композиция гомотетий
Композиция (последовательное выполнение) двух гомотетий с общим центром $O$ и коэффициентами $k_1$ и $k_2$ является гомотетией с тем же центром $O$ и коэффициентом $k = k_1 \cdot k_2$.
Ответ: Композиция гомотетий с общим центром является гомотетией с произведением коэффициентов.

10 Верно ли, что при гомотетии окружность переходит в окружность?

Да, это утверждение верно. При гомотетии любая окружность переходит в окружность.

Доказательство:

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $C$ и радиусом $R$. Пусть также задана гомотетия $H$ с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ (где $k \neq 0$). Нам нужно доказать, что образ окружности $\omega$ при этой гомотетии, который мы обозначим как $\omega'$, также является окружностью.

1. Возьмем произвольную точку $M$ на исходной окружности $\omega$. По определению окружности, расстояние от ее центра $C$ до точки $M$ равно радиусу: $|CM| = R$.

2. При гомотетии $H$ центр исходной окружности $C$ переходит в некоторую точку $C'$, а произвольная точка $M$ на окружности переходит в точку $M'$. По определению гомотетии, для этих точек выполняются следующие векторные равенства:
$\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$
$\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$

3. Найдем расстояние между точками $C'$ и $M'$. Для этого выразим вектор $\vec{C'M'}$:
$\vec{C'M'} = \vec{OM'} - \vec{OC'}$
Подставим в это равенство выражения из определения гомотетии:
$\vec{C'M'} = k \cdot \vec{OM} - k \cdot \vec{OC} = k \cdot (\vec{OM} - \vec{OC})$
Так как $\vec{OM} - \vec{OC} = \vec{CM}$, получаем:
$\vec{C'M'} = k \cdot \vec{CM}$

4. Теперь найдем длину вектора $\vec{C'M'}$, которая и будет расстоянием между точками $C'$ и $M'$.
$|C'M'| = |\vec{C'M'}| = |k \cdot \vec{CM}| = |k| \cdot |\vec{CM}|$
Поскольку точка $M$ лежит на исходной окружности, мы знаем, что $|\vec{CM}| = R$. Следовательно:
$|C'M'| = |k| \cdot R$

5. Мы получили, что любая точка $M'$ образа окружности $\omega$ находится на постоянном расстоянии от фиксированной точки $C'$ (образа центра $C$). Это постоянное расстояние равно $R' = |k| \cdot R$. По определению, множество всех таких точек $M'$ является окружностью $\omega'$ с центром в точке $C'$ и радиусом $R' = |k| \cdot R$.

Таким образом, гомотетия переводит окружность в окружность.

Ответ: Да, верно.

11 Можно ли утверждать, что при гомотетии угол переходит в равный ему угол?

Да, можно утверждать, что при гомотетии угол переходит в равный ему угол. Гомотетия является преобразованием подобия, а одним из ключевых свойств любого преобразования подобия является сохранение величин углов.

Рассмотрим это утверждение более подробно.

Пусть дан угол $\angle BAC$ с вершиной в точке $A$ и сторонами, являющимися лучами $AB$ и $AC$. Выполним гомотетию с центром в некоторой точке $O$ и коэффициентом $k$ ($k \neq 0$). В результате этой гомотетии точки $A, B, C$ перейдут в точки $A', B', C'$ соответственно. Таким образом, угол $\angle BAC$ преобразуется в угол $\angle B'A'C'$.

Одно из основных свойств гомотетии заключается в том, что она переводит любую прямую в параллельную ей прямую. Следовательно, прямая, содержащая луч $A'B'$, будет параллельна прямой, содержащей луч $AB$. Аналогично, прямая $A'C'$ будет параллельна прямой $AC$.

Таким образом, мы имеем два угла, $\angle BAC$ и $\angle B'A'C'$, у которых соответствующие стороны параллельны: $AB \parallel A'B'$ и $AC \parallel A'C'$.

Теперь рассмотрим направление сторон (лучей) этих углов, которое зависит от знака коэффициента гомотетии $k$:

• Если коэффициент $k > 0$, то векторы-стороны и их образы сонаправлены: $\vec{A'B'}$ сонаправлен $\vec{AB}$, и $\vec{A'C'}$ сонаправлен $\vec{AC}$. Углы, образованные сонаправленными лучами, равны. Следовательно, $\angle B'A'C' = \angle BAC$.
• Если коэффициент $k < 0$, то векторы-стороны и их образы противоположно направлены: $\vec{A'B'}$ противоположно направлен $\vec{AB}$, и $\vec{A'C'}$ противоположно направлен $\vec{AC}$. Углы, образованные соответственно противоположно направленными лучами, также равны. Следовательно, $\angle B'A'C' = \angle BAC$.

Таким образом, в обоих случаях величина угла при гомотетии сохраняется.

Ответ: Да, можно утверждать, что при гомотетии угол переходит в равный ему угол.

12 Сформулируйте и докажите теорему о гомотетии многоугольников.

Формулировка теоремы

Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ ($k \neq 0$) переводит любой многоугольник в многоугольник, подобный данному. Коэффициент подобия равен $|k|$, а соответствующие стороны исходного и полученного многоугольников параллельны.

Доказательство

Пусть дан n-угольник $P = A_1A_2...A_n$ и гомотетия $H$ с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$. При этой гомотетии вершины $A_1, A_2, ..., A_n$ переходят в точки $A'_1, A'_2, ..., A'_n$ соответственно. Образом многоугольника $P$ является многоугольник $P' = A'_1A'_2...A'_n$. Нам нужно доказать, что многоугольник $P'$ подобен многоугольнику $P$ с коэффициентом подобия $|k|$.

По определению гомотетии, для любой вершины $A_i$ (где $i = 1, ..., n$) выполняется векторное равенство: $\vec{OA'_i} = k \cdot \vec{OA_i}$.

Рассмотрим произвольную сторону $A_iA_{i+1}$ исходного многоугольника (где $A_{n+1}$ совпадает с $A_1$) и соответствующую ей сторону $A'_iA'_{i+1}$ полученного многоугольника. Выразим вектор стороны $A'_iA'_{i+1}$ через вектор стороны $A_iA_{i+1}$, используя правило разности векторов:

$\vec{A'_iA'_{i+1}} = \vec{OA'_{i+1}} - \vec{OA'_i} = k \cdot \vec{OA_{i+1}} - k \cdot \vec{OA_i} = k \cdot (\vec{OA_{i+1}} - \vec{OA_i}) = k \cdot \vec{A_iA_{i+1}}$

Из полученного векторного равенства $\vec{A'_iA'_{i+1}} = k \cdot \vec{A_iA_{i+1}}$ мы можем сделать два ключевых вывода.

Во-первых, так как вектор $\vec{A'_iA'_{i+1}}$ получается умножением вектора $\vec{A_iA_{i+1}}$ на число $k$, эти векторы коллинеарны. Это означает, что прямые, содержащие стороны $A'_iA'_{i+1}$ и $A_iA_{i+1}$, параллельны: $A'_iA'_{i+1} \parallel A_iA_{i+1}$. Это справедливо для всех пар соответствующих сторон.

Во-вторых, найдем отношение длин этих сторон. Длина отрезка - это модуль соответствующего вектора, поэтому:

$|A'_iA'_{i+1}| = |\vec{A'_iA'_{i+1}}| = |k \cdot \vec{A_iA_{i+1}}| = |k| \cdot |\vec{A_iA_{i+1}}| = |k| \cdot |A_iA_{i+1}|$

Отсюда следует, что отношение длин соответствующих сторон постоянно и равно $|k|$:

$\frac{|A'_iA'_{i+1}|}{|A_iA_{i+1}|} = |k|$

Это доказывает, что все соответствующие стороны двух многоугольников пропорциональны с коэффициентом пропорциональности $|k|$.

Теперь докажем равенство соответствующих углов. Рассмотрим угол при вершине $A_i$, то есть $\angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$ (где $A_0$ совпадает с $A_n$), и соответствующий ему угол $\angle A'_{i-1}A'_iA'_{i+1}$. Мы уже установили, что стороны этих углов попарно параллельны: $A'_{i-1}A'_i \parallel A_{i-1}A_i$ и $A'_iA'_{i+1} \parallel A_iA_{i+1}$.

Направление сторон, образующих угол, важно. Векторы, образующие угол при вершине $A'_i$, выражаются через векторы, образующие угол при вершине $A_i$:

$\vec{A'_iA'_{i-1}} = k \cdot \vec{A_iA_{i-1}}$

$\vec{A'_iA'_{i+1}} = k \cdot \vec{A_iA_{i+1}}$

Если $k > 0$, то соответствующие векторы сонаправлены ($\vec{A'_iA'_{i-1}} \uparrow\uparrow \vec{A_iA_{i-1}}$ и $\vec{A'_iA'_{i+1}} \uparrow\uparrow \vec{A_iA_{i+1}}$). В этом случае стороны углов не только параллельны, но и одинаково направлены, поэтому сами углы равны: $\angle A'_{i-1}A'_iA'_{i+1} = \angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$.

Если $k < 0$, то соответствующие векторы противоположно направлены ($\vec{A'_iA'_{i-1}} \uparrow\downarrow \vec{A_iA_{i-1}}$ и $\vec{A'_iA'_{i+1}} \uparrow\downarrow \vec{A_iA_{i+1}}$). Это означает, что обе стороны угла $\angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$ как бы поворачиваются на $180^\circ$. Такой поворот сохраняет величину угла между ними. Следовательно, и в этом случае углы равны: $\angle A'_{i-1}A'_iA'_{i+1} = \angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$.

Таким образом, мы доказали, что у многоугольников $P$ и $P'$ соответствующие углы равны, а отношения длин соответствующих сторон равны одному и тому же числу $|k|$. По определению подобия фигур, многоугольник $A'_1A'_2...A'_n$ подобен многоугольнику $A_1A_2...A_n$ с коэффициентом подобия $|k|$. Теорема доказана.

Ответ: Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k \neq 0$ переводит любой многоугольник в подобный ему многоугольник. Коэффициент подобия равен модулю коэффициента гомотетии $|k|$.

13 Какие две фигуры называются подобными?

Две геометрические фигуры называются подобными, если одну из них можно получить из другой путем преобразования подобия. Преобразование подобия — это такое преобразование, при котором расстояния между любыми точками изменяются в одно и то же число раз.

Это постоянное положительное число называется коэффициентом подобия и обычно обозначается буквой $k$. Если взять любые две точки $M$ и $N$ в одной фигуре и соответствующие им точки $M'$ и $N'$ в подобной ей фигуре, то отношение расстояний между ними будет равно коэффициенту подобия:
$\frac{M'N'}{MN} = k$

• Если $k = 1$, то фигуры равны.
• Если $k > 1$, то фигура увеличивается (растяжение).
• Если $0 < k < 1$, то фигура уменьшается (сжатие).

На интуитивном уровне, подобные фигуры — это фигуры, имеющие одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер. Например, любые два круга подобны друг другу, как и любые два квадрата.

Для того чтобы два многоугольника были подобны, должны выполняться два условия:
1. Их соответствующие углы равны.
2. Их соответствующие стороны пропорциональны (то есть отношение длин соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$).

Например, если треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ подобны (записывается как $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$), это означает, что:
$\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$
и
$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k$

Важным свойством подобных фигур является то, что отношение их периметров равно коэффициенту подобия $k$, а отношение их площадей — квадрату коэффициента подобия $k^2$.

Ответ: Две фигуры называются подобными, если они имеют одинаковую форму, а их соответствующие линейные размеры пропорциональны. Формально, это означает, что одна фигура может быть получена из другой путем преобразования подобия, при котором все расстояния изменяются в одно и то же число раз (коэффициент подобия $k > 0$).

14 Что мы понимаем под коэффициентом подобия? Может ли коэффициент подобия быть отрицательным числом?

Что мы понимаем под коэффициентом подобия?

Под коэффициентом подобия (обычно обозначается буквой $k$) понимают число, равное отношению длин соответственных линейных элементов двух подобных фигур. Две геометрические фигуры называются подобными, если они имеют одинаковую форму, но могут отличаться размерами.

Это означает, что если фигуры $F_1$ и $F_2$ подобны, то для любой пары соответственных отрезков, например, сторон $a_1$ и $a_2$, или высот $h_1$ и $h_2$, или периметров $P_1$ и $P_2$, их отношение постоянно и равно коэффициенту подобия: $$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{h_2}{h_1} = \frac{P_2}{P_1}$$ Это постоянное отношение $k$ и есть коэффициент подобия. Он показывает, во сколько раз одна фигура больше или меньше другой.

• Если $k > 1$, то фигура $F_2$ является увеличенной копией фигуры $F_1$.
• Если $0 < k < 1$, то фигура $F_2$ является уменьшенной копией фигуры $F_1$.
• Если $k = 1$, то фигуры равны (конгруэнтны).

Важно также помнить, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия ($S_2/S_1 = k^2$), а отношение объемов подобных тел — кубу коэффициента подобия ($V_2/V_1 = k^3$).

Ответ: Коэффициент подобия — это положительное число, равное отношению длин соответственных линейных элементов двух подобных фигур и показывающее, во сколько раз они отличаются по размеру.

Может ли коэффициент подобия быть отрицательным числом?

В рамках классической школьной геометрии коэффициент подобия определяется как отношение длин, а длина по определению является положительной величиной. Следовательно, отношение двух длин также всегда будет положительным. В этом контексте коэффициент подобия не может быть отрицательным.

Однако в аналитической геометрии при рассмотрении преобразования гомотетии (преобразования подобия с центром) коэффициент может быть и отрицательным. Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование, при котором каждая точка фигуры $M$ переходит в точку $M'$ так, что выполняется векторное равенство: $$\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$$ В этом случае:

• При $k > 0$ точка $M'$ лежит на луче $OM$. Фигура просто масштабируется относительно центра $O$.
• При $k < 0$ точка $M'$ лежит на луче, противоположном лучу $OM$. В этом случае фигура не только масштабируется, но и "переворачивается" (отображается центрально-симметрично) относительно центра $O$.

Полученная в результате гомотетии с отрицательным коэффициентом фигура все равно будет подобна исходной (сохранит форму), но ее ориентация будет изменена.

Ответ: Нет, в классическом определении, основанном на отношении длин, коэффициент подобия всегда положителен. Да, в более широком контексте геометрических преобразований (гомотетии) коэффициент может быть отрицательным, что соответствует масштабированию с одновременным поворотом фигуры на 180° относительно центра преобразования.

15 Сформулируйте основные свойства подобия фигур.

Подобие фигур — это одно из ключевых понятий геометрии, описывающее фигуры одинаковой формы, но, возможно, разного размера. Две фигуры называются подобными, если одна может быть получена из другой путем преобразования подобия, которое включает в себя равномерное растяжение/сжатие (гомотетию) и движение (параллельный перенос, поворот, симметрию). Положительное число $k$, равное отношению длин соответствующих отрезков, называется коэффициентом подобия. Ниже приведены основные свойства подобия.

Свойство рефлексивности
Любая фигура подобна самой себе. Это базовое свойство следует из того, что фигуру можно перевести в саму себя преобразованием подобия, коэффициент которого равен единице ($k=1$), то есть, не изменяя ее размеров.
Ответ: Каждая фигура подобна самой себе с коэффициентом подобия 1.

Свойство симметричности
Если фигура $F_1$ подобна фигуре $F_2$ с коэффициентом подобия $k$, то и фигура $F_2$ подобна фигуре $F_1$. При этом коэффициент подобия для обратного преобразования будет обратной величиной, то есть $1/k$.
Ответ: Если $F_1 \sim F_2$ с коэффициентом $k$, то $F_2 \sim F_1$ с коэффициентом $\frac{1}{k}$.

Свойство транзитивности
Если фигура $F_1$ подобна фигуре $F_2$, а фигура $F_2$ в свою очередь подобна фигуре $F_3$, то из этого следует, что фигура $F_1$ подобна фигуре $F_3$. Коэффициент подобия для пары $F_1$ и $F_3$ будет равен произведению коэффициентов подобия: $k = k_1 \cdot k_2$, где $k_1$ — коэффициент для пары $(F_1, F_2)$, а $k_2$ — для пары $(F_2, F_3)$.
Ответ: Если $F_1 \sim F_2$ с коэффициентом $k_1$ и $F_2 \sim F_3$ с коэффициентом $k_2$, то $F_1 \sim F_3$ с коэффициентом $k = k_1 \cdot k_2$.

Свойство сохранения углов
Преобразование подобия не изменяет величину углов. Это означает, что все соответствующие углы у подобных фигур равны между собой. Например, у подобных треугольников соответствующие углы попарно равны.
Ответ: Соответствующие углы подобных фигур равны.

Свойство отношения линейных элементов
Отношение длин любых соответствующих линейных элементов (сторон, высот, медиан, биссектрис, периметров, радиусов и т.д.) в подобных фигурах является постоянной величиной и равно коэффициенту подобия $k$. Если $l_1$ и $l_2$ — это длины соответствующих элементов, то их отношение равно $\frac{l_1}{l_2} = k$.
Ответ: Отношение длин любых соответствующих отрезков в подобных фигурах равно коэффициенту подобия $k$.

Свойство отношения площадей
Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Если $S_1$ и $S_2$ — это площади двух подобных фигур, а $k$ — их коэффициент подобия, то выполняется равенство: $\frac{S_1}{S_2} = k^2$.
Ответ: Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S_2} = k^2$.

Свойство отношения объемов
Для трехмерных фигур (тел) существует аналогичное свойство. Отношение объемов двух подобных тел равно кубу коэффициента их подобия. Если $V_1$ и $V_2$ — это объемы двух подобных тел, а $k$ — их коэффициент подобия, то справедливо равенство: $\frac{V_1}{V_2} = k^3$.
Ответ: Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: $\frac{V_1}{V_2} = k^3$.

16 Гомотетия задана центром О и двумя соответственными точками А и А₁. Объясните, как построить фигуру F₁, гомотетичную данной фигуре F, если фигура F является: а) точкой; б) многоугольником; в) окружностью.

Гомотетия задана центром $O$ и парой соответственных точек $A$ и $A_1$. Это означает, что для любой точки $X$ ее образ $X_1$ при этой гомотетии лежит на прямой $OX$, и выполняется векторное равенство $\vec{OX_1} = k \cdot \vec{OX}$. Коэффициент гомотетии $k$ определяется из соотношения $\vec{OA_1} = k \cdot \vec{OA}$. Отсюда следует, что $k = \frac{|\vec{OA_1}|}{|\vec{OA}|}$, если точки $A$ и $A_1$ лежат по одну сторону от центра $O$ (то есть на одном луче с началом в $O$), и $k = -\frac{|\vec{OA_1}|}{|\vec{OA}|}$, если они лежат по разные стороны от $O$.

Для построения образа $X_1$ произвольной точки $X$ можно применить следующий универсальный геометрический метод, основанный на подобии треугольников (или обобщенной теореме Фалеса):

1. Провести прямую через центр гомотетии $O$ и данную точку $X$.
2. Провести прямую через точки $A$ и $X$.
3. Через точку $A_1$ провести прямую, параллельную прямой $AX$.
4. Точка пересечения прямой $OX$ (из шага 1) и построенной параллельной прямой (из шага 3) и будет искомым образом $X_1$ точки $X$.

Этот метод используется для решения всех подпунктов задачи.

а) фигура $F$ является точкой

Пусть данная фигура $F$ — это точка $B$. Нам нужно построить ее образ, фигуру $F_1$, которая также будет точкой $B_1$. Построение выполняется в соответствии с универсальным методом, описанным выше, где в качестве точки $X$ берется точка $B$.

Алгоритм построения:

1. Провести прямую через центр $O$ и точку $B$.
2. Провести прямую через точки $A$ и $B$.
3. Провести через точку $A_1$ прямую, параллельную прямой $AB$.
4. Точка пересечения прямой $OB$ и параллельной прямой, построенной на шаге 3, является искомой точкой $B_1$.

Ответ: Фигура $F_1$ является точкой $B_1$, построенной указанным способом.

б) фигура $F$ является многоугольником

При гомотетии многоугольник переходит в подобный ему многоугольник. Вершины нового многоугольника являются образами вершин исходного многоугольника. Пусть $F$ — это многоугольник с вершинами $V_1, V_2, \dots, V_n$. Чтобы построить гомотетичный ему многоугольник $F_1$, нужно построить образы всех его вершин.

Алгоритм построения:

1. Для каждой вершины $V_i$ (где $i$ от 1 до $n$) исходного многоугольника $F$ найти ее образ $V_{i1}$, используя универсальный метод построения для одной точки, описанный в пункте а).
2. Последовательно соединить полученные точки-образы $V_{11}, V_{21}, \dots, V_{n1}$ отрезками.

Полученный многоугольник $V_{11}V_{21}\dots V_{n1}$ и есть искомая фигура $F_1$.

Ответ: Фигура $F_1$ является многоугольником, вершины которого $V_{11}, V_{21}, \dots, V_{n1}$ являются образами вершин $V_1, V_2, \dots, V_n$ исходного многоугольника $F$, построенными с помощью гомотетии.

в) фигура $F$ является окружностью

При гомотетии окружность переходит в окружность. Окружность однозначно задается своим центром и радиусом. Пусть исходная окружность $F$ имеет центр в точке $C$ и радиус $r$. Чтобы построить ее образ $F_1$, нужно найти новый центр $C_1$ и новый радиус $r_1$.

Алгоритм построения:

1. Построение центра новой окружности $C_1$. Центр $C_1$ новой окружности является образом центра $C$ исходной окружности. Для его нахождения применяется универсальный метод построения для точки (как в пункте а)).
2. Построение радиуса новой окружности $r_1$. Радиус $r_1$ искомой окружности связан с радиусом $r$ исходной соотношением $r_1 = |k| \cdot r$, где $k$ — коэффициент гомотетии. Чтобы построить отрезок, равный $r_1$, можно поступить следующим образом:
   1. Выбрать любую точку $P$ на исходной окружности $F$.
   2. Построить ее образ $P_1$, используя универсальный метод.
   3. Длина отрезка $C_1P_1$ будет равна новому радиусу $r_1$.
3. Построение искомой окружности $F_1$. С помощью циркуля построить окружность с центром в точке $C_1$ и радиусом, равным длине отрезка $C_1P_1$.

Ответ: Фигура $F_1$ является окружностью с центром $C_1$ (образ центра $C$ исходной окружности) и радиусом $r_1 = |C_1P_1|$, где $P_1$ - образ произвольной точки $P$ на исходной окружности.

17 Сформулируйте и докажите теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности.

Формулировка теоремы

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению отрезков, на которые она делит другую хорду.

Для хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в точке $P$, это свойство выражается формулой: $AP \cdot PB = CP \cdot DP$.

Доказательство

Пусть в окружности хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Соединим концы хорд так, чтобы получились треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$.

Рассмотрим эти треугольники и докажем их подобие.

Угол $\angle APC$ равен углу $\angle DPB$, так как они являются вертикальными.

Угол $\angle PAC$ (или $\angle BAC$) равен углу $\angle PDB$ (или $\angle CDB$), так как оба являются вписанными углами, которые опираются на одну и ту же дугу $CB$.

Поскольку два угла треугольника $\triangle APC$ соответственно равны двум углам треугольника $\triangle DPB$, эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон. Соответственными являются стороны, лежащие против равных углов. В наших треугольниках: - Сторона $AP$ лежит против угла $\angle ACP$, а сторона $DP$ — против равного ему угла $\angle DBP$. - Сторона $CP$ лежит против угла $\angle PAC$, а сторона $PB$ — против равного ему угла $\angle PDB$.

Следовательно, мы можем записать соотношение для соответственных сторон: $\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{PB}$

Применяя к этой пропорции правило перекрестного умножения, получаем искомое равенство: $AP \cdot PB = CP \cdot DP$

Теорема доказана.

Ответ: Для двух хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в точке $P$, произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой: $AP \cdot PB = CP \cdot DP$.

18 Сформулируйте и докажите теорему о квадрате отрезка касательной к окружности.

Формулировка теоремы (Теорема о касательной и секущей)

Если из точки, лежащей вне окружности, к ней проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной от этой точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от этой точки до точек её пересечения с окружностью.

Пусть из точки $P$ к окружности проведена касательная $PT$ (где $T$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (при этом точка $A$ лежит между точками $P$ и $B$). Тогда справедливо равенство: $PT^2 = PA \cdot PB$.

Доказательство

Рассмотрим треугольники $\triangle PAT$ и $\triangle PTB$. Докажем, что они подобны.

1. Угол при вершине $P$, то есть $\angle AP T$ (или $\angle BPT$), является общим для обоих треугольников.

2. Угол $\angle PTA$ образован касательной $PT$ и хордой $AT$. По теореме об угле между касательной и хордой, его величина равна половине угловой меры дуги $AT$, заключенной внутри этого угла.

3. Угол $\angle PBT$ (или $\angle ABT$) является вписанным в окружность углом, который опирается на ту же дугу $AT$. Следовательно, его величина также равна половине угловой меры дуги $AT$.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что углы $\angle PTA$ и $\angle PBT$ равны: $\angle PTA = \angle PBT$.

Таким образом, треугольники $\triangle PAT$ и $\triangle PTB$ имеют по два равных угла ($\angle P$ — общий, и $\angle PTA = \angle PBT$). Следовательно, треугольники $\triangle PAT$ и $\triangle PTB$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников ($\triangle PAT \sim \triangle PTB$) следует пропорциональность их соответственных сторон. Сопоставим соответственные вершины: вершине $P$ соответствует $P$, вершине $A$ соответствует $T$, вершине $T$ соответствует $B$. Запишем пропорцию для соответственных сторон: $ \frac{PA}{PT} = \frac{PT}{PB} $

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $ PT \cdot PT = PA \cdot PB $
$ PT^2 = PA \cdot PB $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Квадрат отрезка касательной, проведенной из точки к окружности, равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки, от этой точки до точек пересечения с окружностью. Если $PT$ — отрезок касательной, а $PAB$ — секущая (где $A$ и $B$ — точки пересечения с окружностью), то $PT^2 = PA \cdot PB$.

19 Сформулируйте и докажите теорему о произведении отрезков секущих.

Формулировка

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение длины одной секущей на её внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на её внешнюю часть.

Ответ: Теорема утверждает, что если из точки P вне окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках A, B и C, D, то справедливо равенство $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

Доказательство

Пусть из точки P, расположенной вне окружности, проведены две секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках A и B (причем точка A находится между P и B). Вторая секущая пересекает окружность в точках C и D (причем точка C находится между P и D). Необходимо доказать, что $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

Для доказательства соединим отрезками точки A с D и B с C. Рассмотрим треугольники $ \triangle PAD $ и $ \triangle PCB $.

Угол при вершине P ($ \angle APD $) является общим для обоих треугольников. Углы $ \angle PBC $ и $ \angle ADC $ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу AC. По свойству вписанных углов, эти углы равны: $ \angle PBC = \angle ADC $.

Поскольку два угла треугольника $ \triangle PAD $ ($ \angle P $ и $ \angle PDA $) соответственно равны двум углам треугольника $ \triangle PCB $ ($ \angle P $ и $ \angle PBC $), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Из подобия треугольников $ \triangle PAD \sim \triangle PCB $ следует пропорциональность их соответственных сторон. Соответственными являются стороны, лежащие напротив равных углов. Запишем пропорцию для пар соответственных сторон: $ \frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB} $. Здесь PA и PC — стороны, лежащие напротив равных углов $ \angle PDA $ и $ \angle PBC $, а PD и PB — стороны, лежащие напротив равных углов $ \angle PAD $ и $ \angle PCB $.

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем требуемое равенство: $ PA \cdot PB = PC \cdot PD $. Теорема доказана.

Ответ: Равенство $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ доказано на основе подобия треугольников $ \triangle PAD $ и $ \triangle PCB $.

20 Докажите, что середины всех хорд окружности, один конец которых совпадает с данной точкой, есть окружность.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — данная точка на этой окружности.

Рассмотрим произвольную хорду $AB$, один из концов которой совпадает с точкой $A$. Пусть точка $M$ — середина этой хорды. Нам необходимо доказать, что геометрическое место точек $M$ есть окружность.

Соединим центр окружности $O$ с концами хорды, точками $A$ и $B$. Получим треугольник $\triangle OAB$. В этом треугольнике стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы одной окружности ($OA = OB = R$). Следовательно, треугольник $\triangle OAB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Отрезок $OM$ соединяет вершину $O$ с серединой основания $M$. Таким образом, $OM$ является медианой треугольника $\triangle OAB$. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $OM \perp AB$, а значит, угол $\angle OMA = 90^\circ$.

Это утверждение справедливо для любой хорды $AB$, проведенной из точки $A$.

• Если хорда $AB$ является диаметром, то ее середина $M$ совпадает с центром $O$, и точка $M$ лежит на отрезке $OA$, а угол $\angle OMA$ можно считать прямым (так как $M=O$).
• Если точка $B$ совпадает с $A$, то хорда вырождается в точку $A$, и ее середина — сама точка $A$.

Во всех случаях для середины $M$ хорды $AB$ выполняется условие, что угол $\angle OMA$ прямой. Геометрическое место точек $M$, из которых отрезок $OA$ виден под прямым углом, есть окружность, построенная на отрезке $OA$ как на диаметре.

Теперь докажем обратное: любая точка на этой новой окружности является серединой некоторой хорды, выходящей из $A$. Пусть $M'$ — любая точка на окружности с диаметром $OA$. Тогда по свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, $\angle OM'A = 90^\circ$. Проведем прямую через точки $A$ и $M'$ до пересечения с исходной окружностью в точке $B'$. Получим хорду $AB'$. Так как отрезок $OM'$ перпендикулярен хорде $AB'$, то по свойству радиуса, перпендикулярного хорде, $OM'$ делит хорду $AB'$ пополам. Следовательно, $M'$ является серединой хорды $AB'$.

Таким образом, мы доказали, что множество середин всех хорд, выходящих из точки $A$, в точности совпадает с множеством точек окружности, построенной на отрезке $OA$ как на диаметре.

Ответ: Множество середин всех хорд окружности, один конец которых совпадает с данной точкой $A$, есть окружность, диаметром которой является отрезок $OA$, где $O$ — центр исходной окружности.

21 Объясните, как построить окружность, которая проходит через данную внутреннюю точку угла и касается сторон этого угла.

Данная задача на построение решается с помощью метода гомотетии (преобразования подобия с центром). Основная идея заключается в том, чтобы сначала построить любую удобную окружность, которая уже обладает одним из требуемых свойств (касается сторон угла), а затем преобразовать ее так, чтобы она удовлетворяла и второму свойству (проходила через данную точку).

Анализ задачи

Пусть дан угол с вершиной в точке $A$ и стороны $l_1$ и $l_2$. Пусть $P$ — данная точка внутри угла. Искомая окружность должна касаться сторон $l_1$ и $l_2$, следовательно, ее центр $O$ должен быть равноудален от этих сторон. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, является его биссектриса. Значит, центр искомой окружности $O$ должен лежать на биссектрисе данного угла.

Рассмотрим семейство всех окружностей, касающихся сторон $l_1$ и $l_2$. Центры всех этих окружностей лежат на биссектрисе угла. Любые две такие окружности гомотетичны друг другу с центром гомотетии в вершине угла $A$. Это ключевое свойство, которое мы и будем использовать для построения.

Алгоритм построения

1. С помощью циркуля и линейки построить биссектрису $b$ данного угла с вершиной $A$. Центр искомой окружности будет лежать на этой прямой.
2. Выбрать на биссектрисе $b$ произвольную точку $O'$ и построить вспомогательную окружность $\omega'$, которая касается сторон угла. Для этого нужно из точки $O'$ опустить перпендикуляр $O'T'$ на одну из сторон угла (например, на $l_1$). Затем построить окружность $\omega'$ с центром в $O'$ и радиусом $R' = O'T'$.
3. Провести луч $AP$ из вершины угла через данную точку $P$. Этот луч, как правило, пересечет вспомогательную окружность $\omega'$ в двух точках. Назовем их $P_1'$ и $P_2'$. Каждая из этих точек пересечения позволит найти одно из возможных решений задачи. (Если луч $AP$ коснется окружности $\omega'$, решение будет одно).
4. Для нахождения центра $O_1$ первой искомой окружности нужно провести через точку $P$ прямую, параллельную отрезку $O'P_1'$. Точка пересечения этой прямой с биссектрисой $b$ и будет искомым центром $O_1$.
5. Аналогично, для нахождения центра $O_2$ второй искомой окружности, следует провести через точку $P$ прямую, параллельную отрезку $O'P_2'$. Точка ее пересечения с биссектрисой $b$ даст центр $O_2$.
6. Построить искомые окружности. Первая окружность имеет центр в точке $O_1$ и радиус $R_1 = O_1P$. Вторая окружность имеет центр в точке $O_2$ и радиус $R_2 = O_2P$.

Обоснование

Докажем корректность построения для окружности с центром $O_1$.По нашему построению, прямая $O_1P$ параллельна прямой $O'P_1'$. Рассмотрим треугольники $\triangle AO_1P$ и $\triangle AO'P_1'$.

• Угол $\angle PAO_1$ (или $\angle P_1'AO'$) является общим для обоих треугольников.
• Поскольку $O_1P \parallel O'P_1'$, то углы $\angle AO_1P$ и $\angle AO'P_1'$ равны как соответственные при параллельных прямых и секущей $AO'$.

Следовательно, треугольники $\triangle AO_1P$ и $\triangle AO'P_1'$ подобны по двум углам. Из подобия вытекает пропорциональность соответствующих сторон:

$$ \frac{AO_1}{AO'} = \frac{O_1P}{O'P_1'} $$

Теперь рассмотрим радиусы. Пусть $r_1$ — это радиус окружности с центром $O_1$, которая касается сторон угла. Для любой окружности, касающейся сторон угла, ее радиус пропорционален расстоянию от ее центра до вершины угла. Для наших двух окружностей (искомой и вспомогательной) это означает:

$$ \frac{r_1}{R'} = \frac{AO_1}{AO'} $$

где $R'$ — радиус вспомогательной окружности, $R' = O'P_1'$, так как точка $P_1'$ лежит на ней.

Сопоставляя два полученных равенства, имеем:

$$ \frac{O_1P}{O'P_1'} = \frac{r_1}{R'} $$

Подставив $R' = O'P_1'$, получаем $O_1P = r_1$.

Это равенство означает, что расстояние от центра $O_1$ до точки $P$ равно радиусу окружности с центром $O_1$, касающейся сторон угла. Следовательно, построенная окружность с центром $O_1$ и радиусом $O_1P$ действительно проходит через точку $P$ и касается сторон угла. Аналогичные рассуждения верны и для второй окружности с центром $O_2$.

Ответ: Алгоритм построения искомой окружности подробно описан выше. Он основан на построении биссектрисы угла, затем вспомогательной касающейся окружности и использовании гомотетии с центром в вершине угла для нахождения центров искомых окружностей. В общем случае задача имеет два решения.

1342 При данном движении каждая из двух точек A и B отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой AB отображается на себя.

Пусть `f` — данное движение (изометрия). По условию, у нас есть две различные точки A и B, которые являются неподвижными для этого движения, то есть $f(A) = A$ и $f(B) = B$.

Нам нужно доказать, что любая точка C, лежащая на прямой AB, также является неподвижной, то есть $f(C) = C$.

Введем на прямой AB систему координат. Пусть точка A соответствует координате 0, а точка B — координате $d$, где $d$ — это длина отрезка AB ($d > 0$, так как точки A и B различны).

Пусть C — произвольная точка на прямой AB с координатой $x$. Пусть ее образ при движении $f$, точка $C' = f(C)$, имеет координату $x'$. Наша задача — доказать, что $x' = x$.

Движение (изометрия) — это преобразование, сохраняющее расстояние между точками. Применим это свойство к парам точек (A, C) и (B, C).

1. Расстояние между A и C должно быть равно расстоянию между их образами $f(A)$ и $f(C)$.

Расстояние AC равно $|x - 0| = |x|$.

Расстояние $f(A)f(C)$ равно $|x' - 0| = |x'|$, так как $f(A)$ имеет координату 0, а $f(C)$ — координату $x'$.

Следовательно, мы получаем первое уравнение: $$|x| = |x'|$$ Из этого уравнения следует, что либо $x' = x$, либо $x' = -x$.

2. Расстояние между B и C должно быть равно расстоянию между их образами $f(B)$ и $f(C)$.

Расстояние BC равно $|x - d|$.

Расстояние $f(B)f(C)$ равно $|x' - d|$, так как $f(B)$ имеет координату $d$, а $f(C)$ — координату $x'$.

Следовательно, мы получаем второе уравнение: $$|x - d| = |x' - d|$$

Теперь рассмотрим два возможных случая, вытекающих из первого уравнения.

Случай 1: $x' = x$.

Подставим это значение во второе уравнение: $|x - d| = |x - d|$. Это тождество, верное для любой координаты $x$. Таким образом, $x' = x$ является решением системы уравнений. Это означает, что точка C может отображаться на себя.

Случай 2: $x' = -x$.

Подставим это значение во второе уравнение: $$|x - d| = |-x - d|$$ $$|x - d| = |-(x + d)|$$ $$|x - d| = |x + d|$$ Чтобы это равенство выполнялось, квадраты модулей также должны быть равны: $$(x - d)^2 = (x + d)^2$$ $$x^2 - 2xd + d^2 = x^2 + 2xd + d^2$$ $$-2xd = 2xd$$ $$4xd = 0$$ Поскольку точки A и B различны, расстояние между ними $d \ne 0$. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы $x = 0$.

Это означает, что случай $x' = -x$ возможен только для точки с координатой $x=0$. Но точка с координатой 0 — это точка A. Для точки A мы имеем $x=0$, и тогда $x' = -0 = 0$, то есть $x' = x$. Таким образом, даже в этом исключительном случае точка A отображается сама на себя, что соответствует условию. Для любой другой точки C на прямой AB (т.е. при $x \ne 0$) случай $x' = -x$ невозможен.

Следовательно, для любой точки C на прямой AB единственно возможным является случай $x' = x$. Это означает, что любая точка прямой AB отображается на себя, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Любая точка прямой AB при данном движении отображается на себя.